1樓：
首先這個級數是發散的，然後其他答案給的求和都是廣義和，Abel和與Cesaro和。
科普一下廣義和。廣義和的意思是，如果級數存在，那麼廣義和一定等於級數和。但是如果級數不收斂，通常意義的和(柯西和)不存在，廣義和仍然可能收斂。
這裡是Abel和，由阿貝爾第二定理保證如果柯西和存在那麼Abel和也存在。反過來可以考慮哪些廣義和收斂能推出柯西和收斂的問題，由著名的陶伯型定理來保證。廣義和的乙個作用是用來計算可以判斷收斂性，但是難以計算柯西和的級數的和。
比如傅利葉級數的Cesaro和就是非常有用的。
這個和式的通項還是可以求的： 。
和式的計算還可以用公式 ，再取虛部。
於是和式為 ，當 趨於無窮大時，極限不存在，不過它是有界的，上界是 。
對於你在其他回答下的問題：這個和是正的還是負的，首先這個和不存在，談不上正負。不過我們可以考慮當 充分大時，和式的符號問題。
這裡我們要用到結論 的聚點在 上稠密，因此在區間 上稠密，因此有無數個使得和式為負，無數個使得和式為正。
對 在的稠密性，可以參考 在 上的稠密性。
順便一提，學傅利葉級數，這是最基本的求和了，到處都是對這種和式上界的估計，來判斷傅利葉級數的一致收斂性。
修改一下，證明 有無數個使得該式為負，無數個使得該式為正不需要稠密性那麼強的結論，由圖就可以觀察出來。
這是在乙個週期內的影象，影象與軸交點 ，因為 不可能是 的零點，於是 內一定有乙個，這樣就有無數個使得 為負，同樣會有無數個 使得為正。
2樓：Galois
大佬都給出結果了，小弟只作個補充。
@鍵山令奈 的回答中，e^i/（1-e^i）的結果應該是用廣義和求出的。
例如Abel:
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