1樓：梅心情
arctanx將R對映到有限區間，再做一下標準化，就是R到（0，1）的乙個一一對應。
所以問題就轉化為找（0，1）*（0，1）到（0，1）的一一對應。
將（0，1）內的小數都表示為十進位制形式0.abc...，可以證明，除了可列個小數以外，其他的小數的十進位制表示方式都是唯一的，而那可列個小數只有兩種表示方式，如0.
5=0.4999...，只取其中一種表示。
因此對（0，1）*（0，1）內的元素（0.abc...， 0.efg），將它對應到0.aebfcg...就可以了。證明的一些細節應該沒大問題了。
2樓：
在任何一本集合論的書上都可以找到乙個從到的雙射，同樣的方法可以做出從，到的雙射。
而我們可以取下面乙個函式
1frac+\fracx, & \text{if $ 0顯然，這是從到的乙個雙射，同樣地，可以構造從到的乙個雙射。因此，與等勢。
3樓：yuyu
使用基數算術，每次都構造雙射不是乙個很好的選擇。
定義.用表示集合的基數，設,是集合，用表示和的無交並，表示所有從到的函式的集合。
設,是集合，那麼基數運算定義如下：
加法：乘法：
指數運算：
很明顯，如果和都是有限的，那麼如上定義的運算與通常的運算(將和看成自然數)是一致的。
記，。採用上面的記號，可以寫成，可以寫成。
很明顯和(所有從到的函式集合)有相同的基數，因此寫成集合的形式就是
這裡用到了對於基數(有限的或無限的)(即)類似地還可以證明
1. ，因為。
2.3.
關於基數算術請見：Overview of basic results on cardinal arithmetic
4樓：「已登出」
@趙永峰 的答案基本上而且直覺上是對的，唯一的一點就是實際上我們應該把乙個實數看成乙個把有理數集對映到0,1上面並保持有序的函式。然後用同樣的有理數對映去證明新對映上的乙個有序性。（雖然這時候二進位制會方便不少）
其實我比較好奇的是，實數是有理數的逼近於是可以使用有理數逼近的方法證明乙個等勢。我比較好奇有沒有其他類似的逼近證明類似的等勢；在這些逼近後面是否有乙個好看的幾何結構
5樓：
對於的元素，把其中每乙個元素用十進位制小數表示為：
構造十進位制小數：
顯然，這是乙個實數。而對於任意實數，可以通過前置後置補0後以同樣方式拆分成個實數。這樣，我們建立了與的元素間的一一對映，於是兩個集合等勢。
對於十進位制小數與實數並不是一一對應的問題，可以在十進位制小數中刪去從某一位開始全部為9的小數。因為任何有限多實數按上述方式的重組不會重組出從某一位開始全部為9的小數。
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