既然整數集與偶數集等勢，那為什麼在整數集中隨機選取乙個數是偶數的概率是 1 2？

1樓：MAN

「概率」用於描述隨機事件發生的可能性大小。但是類似的奇數偶數問題，並不存在「事件」，描述成「選取」則變成了「事件」，這樣就與「概率」的概念搭上了邊。

即便如此，其本質乃是「部分的數量佔據整體的比例」的問題。所以對待這類問題，應當直接究其本質，而不必過多受到概率相關概念的限制。(所以我覺得，此題把注意力集中在概率的相關概念、並加以限制，是未抓住問題的本質。

)而部分佔據整體的比例包含乙個飽受爭議的特殊情況：無窮大。則其本質又是：無窮大的比較。

所以，題主的這個問題，如果翻譯地直白一點就是：

根據集合等勢理論，偶數與整數數量一樣多，則偶數佔整數的比例為1，這不符合直覺和常識(1/2)。究竟是常識錯了，還是等勢理論錯了？

其實有乙個解決辦法：「勢」作為無窮集合的乙個特徵，不要與元素個數等同。等勢不是個數相等。

只不過，「等勢理論」被理解成「個數相等」深入人心，應用得太廣泛了。

2樓：

首先解釋下為什麼會有概率是1/2的想法，給定n個數，使其奇數個數和偶數個數最多相差1，那麼當n取足夠大時概率是1/2，所以1/2是乙個極限結果。從這個角度看，每次構造的集合都是有限集，這種情況下偶數部分和整體不等勢。換言之，概率近似1/2總是發生在有限情況下，所以和無限情況下等勢無關。

對於整數集，在離散情況下無法定義乙個測度滿足概率的定義。

3樓：張翼騰

首先等勢是乙個比較弱的概念，等勢並不能說明測度相同，比如：

對於Lebesgue測度，的測度是，的測度為，但是兩者是等勢的：，是乙個雙射。在中的均勻分布隨機取乙個數落在中的概率是。

而後乙個問題：為什麼在整數集中隨機選取乙個數是偶數的概率是 1/2。

從概率的數學定義上這個結論是錯誤的，因為不存在整數集合上的均勻分布令，對整數的乙個子集，定義：

是事件限制在上的古典概率。如果極限存在，定義為任取乙個整數落在集合中的概率，也稱為數集的密度。

但是這種定義的「概率」並不符合概率論中概率的定義：它滿足有限可加性，但是不滿足可列可加性。

從這個定義出發，令全體偶數集合為，那麼，顯然，所以我們稱：。

4樓：ZeroPassion

假設我們可以用一種「直觀」的方式來得到這個概率（即，隨機選取乙個數概率為偶數的概率）：取(正)整數集的子集序列 , ,然後我們看似可以推出取偶數的概率是1/2.

不過令人失望的是這個序列並不是惟一的,比如令

顯然這個所謂概率不是well-defined.

5樓：Steven Wang

通過「在整數集中隨即選取乙個數，屬於另乙個集合的概率是x」的方法來比較集合的大小也不是不可以。

但這種方法對應的集合大小度量叫做「漸進密度」或者叫「自然密度」，而不是通過是否等勢來比較大小的。即：偶數集合的自然密度是1/2。

注意並不是所有的自然數子集都有「自然密度」，而且依據「密度」的定義不同（對應的「概率「定義不同)，同乙個子集的大小也不是固定的。

6樓：慧航

如果你想從測度的方面理解這個問題，說明你有點懂得測度的東西了，所以不妨放兩個前提：

要定義乙個well-defined概率測度，有的時候是非常困難甚至不可能的事情。

我們知道，為了定義概率，首先要「三件套」：樣本空間、事件的集合、概率。

在這個問題裡面，前兩個都不是大問題，關鍵是最後乙個，我們知道，概率是這麼定義的：

而由於你的這個問題裡面，是乙個可數集，定義概率的問題可以更加簡單一點：

所以只需要為每乙個整數賦值乙個≥0且≤1的概率值，那麼概率就可以被定義出來了。

然而問題是：你不可能為每個整數賦值的概率值都相等。

如果假設可以做如此的賦值，即為每個整數賦值的概率都相等，且大於0，那麼所有的概率相加》1，與概率定義的第2條違背；

根據概率定義的第1條，如果不能大於0，只能等於0，但是如果所有的概率值都等於0，那麼全部加起來等於0，又與第2條違背。

所以這個問題很簡單：在你的問題裡面，你根本沒有嚴謹的定義概率，所以「在整數集中隨機選取乙個數是偶數的概率是1/2」這個結論根本就不成立。

7樓：jwars

沒有所謂的從整數集中隨機抽取乙個數的概念。

你可能會這麼做：假設概率空間是1-n整數的均勻分布，然後令n趨於無窮得到整數集的均勻分布。但這是錯誤的。

這涉及到tight的概念。這個例子中，這一列概率測度最終無法收斂到乙個概率測度，而僅僅是vague converge到乙個測度（全零的測度），而不再是概率測度。因此整數集隨機抽取事實上無法做到。