1樓：
(xCn)=x(x-1)...(x-n+1)/n!
的整線性組合.
由於f在正整數上取值都是整數，我們可以把f重寫成f(x)=a(xC3)+b(xC2)+cx+d, 其中abcd都是整數。注意到6f(x)是整係數多項式。
由於f(x)不是常函式，素數f(x)不能總為±2或±3。選取x0使得f(x0)=±p, p是個大於3的素數。對於正整數x≡x0 mod p，我們有f(x)≡f(x0)≡0 mod p (因為f(x)的係數在模p意義下都是整數！
)由於f(x)是素數，必須有f(x)=±p. 這對所有模p同余於x0的x都成立，與f(x)不是常函式矛盾。
2樓：LLAA
d是整數，否則取x為a，b，c分母的公倍數，則函式值不為整數，矛盾。
f(1)-d=a+b+c
f(2)-2(a+b+c)-d=6a+2b
f(3)-3(a+b+c)-4(6a+2b)-d=3a+b
f(5)-5(a+b+c)-20(3a+b)-d=60a
20(3a+b)-60a=20b
60(a+b+c)-60a-3·20b=60c
f(7)-7(a+b+c)-42(3a+b)-3·60a-d=30a
f(9)-9(a+b+c)-72(3a+b)-16·30a-d=24a
30a-24a=6a
6a+2b-6a=2b
f(3)-9(3a+b)-d=3c
以上所有等式兩側均為整數，至此已得6a,2b,3c,d均為整數(事實上只需要60a,20b,30c,d為整數即可)。雖然有比這簡潔些的證明，但是這裡空白太小，寫不下。(打字太麻煩)
f(x)=1/6(6ax^3+2·2bx^2+2·3cx+6d)
若a,b,c中至少有一不為0，設正整數n使得f(n)不等於0且f(n)不整除6，那麼f(n)整除f(n+f(n))，矛盾。故a=b=c=0。
綜上，僅f(x)=p滿足題設。
更一般地，對於f(x)=a_0+a_1x+…+a_mx^m，取n使得f(n)不為所有a_i的最小公倍數的因子，則f(n)整除f(n+kf(n))，其中k為任意整數。故f(x)不可能在N+上恒為素數。
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