1樓：形瞳
用本科數學分析的內容也可以證明中既開又閉集合只有空集與首先根據定義可知空集與既開又閉，那麼只需證明 的其他子集不能既開又閉即可
度量空間中的開集閉集有這樣乙個結論：
集合S是開集（閉集）的充要條件是S的補集是閉集（開集）那麼再結合的向量空間性質和Cantor閉區域套定理即可證明如下
反證法假如存在非空集也非的 子集既開又閉，記為 ，其補集記為 ，由上述的結論1可知也既開又閉
又有 記這兩點連線的中點為 ，記為球心，半徑為 的閉球為注意到如果記 的中點為 ，記為球心，半徑為 的閉球為，注意到否則 記 的中點為 ，記為球心，半徑為 的閉球為，注意到如此下去我們得到了乙個閉區域套 ，由Cantor閉區域套定理可知存在唯一，由於 的任意鄰域一定包含乙個上述的閉球 ，而由於我們的構造方式任意上述閉球一定至少包含乙個 中的點和乙個 中的點
於是如果 那麼它就一定是 的聚點，反之它就是 的聚點這與 既開又閉矛盾證畢
2樓：遲來的理想
沒學過連通就現在學唄，乙個定義而已。
定義1：給定拓撲空間 ，我們稱 的子集 構成 的乙個分割，如果：
, 且 ， 。
定義2：我們稱拓撲空間 是連通的，如果它不存在分割。
連通性的等價定義：若乙個拓撲空間 是連通的 不存在非平凡的即開又閉的子集。
證明：設 是連通的，若存在 ， （是非平凡的），則 ，從而 構成 的乙個分割。
另一方面，設 不存在非平凡的即開又閉的子集，若 不連通，則存在分割 使得 都是非平凡的既開又閉的子集。
定理1：連通性是乙個拓撲性質。
證明：設有兩個相互同胚的拓撲空間，其中 是連通的，同胚由 給出。我們假設 不是連通空間，則 構成 的乙個分割，由於 是同胚對映，所以 是連續滿射，從而 和 是 中無交的非空開集且 。
從而連通性是乙個拓撲性質（被同胚所保持
定理2：兩個連通空間的笛卡爾積是連通的。
證明：設 是兩個連通空間，選定 ，則 ，從而 是連通的，同理可得 （ ）是連通的，從而 是連通的。又由於 ，所以 連通
定理2可經由有限步歸納得到有限多個連通空間的笛卡爾積是連通的。
的連通性是顯然的，因為首先 是連通的（由 的完備性）。其次，有限多個連通空間的笛卡爾積是連通的。
由以上得到推論：由於 是連通的，所以既開又閉的集合都是平凡的（ 和 ）。
這是有限維歐氏空間上的情形，乙個自然的問題是：無窮維歐氏空間 上的既開又閉的集合是否都是平凡的？
這取決於無窮多個連通空間的笛卡爾積是否還是連通的。
而這又取決於 上裝備了什麼拓撲，如果是給 裝備積拓撲，那麼 上的既開又閉的集合確實是平凡的。而裝備其它的拓撲（比如比積拓撲更細的Box Topology）則 不一定會是連通的，那麼就有非平凡的既開又閉子集。這個問題在這裡就不展開了。
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