1樓：Acid
經@王箏 提醒，原猜想不普遍成立，補充如下
對於超越數 ，若 的 irrationality measure 3" eeimg="1"/>，則 不收斂。
證明：由 irrationality measure 的定義有 0" eeimg="1"/>，存在無窮多組 使得
記滿足條件的 組成的集合為 ，則 ，
記 因此
由於 有無窮多個元素，故 3" eeimg="1"/>時通項不收斂於零， 發散。
3" eeimg="1"/>是個很強的條件，已知的超越數中 Liouville 常數的 irrationality measure 是無窮，因此已然否定了最初對於所有實數級數都收斂的猜想。
進一步想，對於一般的無理代數數 ，儘管對於放縮的最後一項看起來像是 -級數，似乎對於 2" eeimg="1"/>時都發散，但 本身也是乙個很稀疏的集合。以 為例， ，而 大約成等比數列增長，因此級數依然收斂，由此猜想 至少對於代數數都是收斂的，然而代數數的 ，
在 時堪堪發散，因此想證明 收斂依然很困難。
如何證明這個級數問題？
畦哇矽 問題 設 為實數列，定義 求證 若數列 有界且 則 我們的核心思路是，假設沒有，於是 會無限次地遠離 又因為 所以 會無限次地靠近 因為 受到限制，所以 在一次靠近和一次遠離之間行進得很慢，經歷了很多很多項才從 靠近狀態 變成 遠離狀態 而這麼多項離 靠近狀態 越來越遠的值能夠對平均數造成比...
如何評價這個 既發散又收斂 的級數？
hhh 1，不含9的數列收斂，沒有問題，證明是對的。2，錯在含9的數列收斂。主要錯誤是第4步。含9的3位數小於不含9的3位數之和，之後歸納出含9的n位數之和小於不含9的n位數之和收斂。主要錯誤在歸納此的這一步。原因很簡單，因為10 n中不含9的數有9 n，0.9 n趨於0，也就是隨著位數越大不含9的...
如何證明收斂數列的任意子數列也收斂，且極限相同？
Houdini.Z 我把 張樂陶 的回答總結一下，你可以將原數列理解為乙個收斂於a的無限長數列，然後子數列是在原數列基礎上按一定規則取另乙個無限長數列，無論規則如何，只要是無限長的那麼它的極限必然與原數列相等。希望這麼說能幫助你理解。 原子筆 把數列看成曲線的取樣，能收斂就保證了取樣點序列中不會有違...