1樓：Lancewu
題主的猜想對於凸 邊形是正確的，至於一般的 邊形，則是錯誤的。
我先簡述一下題主Chanyx的猜想。
定義1：給定正整數 ,讓 為兩個 邊形，當以下條件成立時，我們說 為一組【Chanyx對】：
對於任意 ，有 位於 的垂直平分線上且 位於 的垂直平分線上。（我們考慮mod 形式的加法，即 ）
猜想1：任意 邊形 都有無窮個邊形 使得 形成Chanyx對。
注：Chanyx為題主ID，我沒有搜過本猜想，因為難度不高和沒有明顯價值，目測沒有名字。
下圖為一簡易例子：
首先易得如下引理，
引理1： 為Chanyx對當且僅當對任意 ,有 。
證明：連續使用【垂直平分線】的性質即可。
定義2：若 為Chanyx對，定義 的Chanyx距離為 , 用 指示。
基本思路：給定 邊形 ，選取一正實數 0" eeimg="1"/>, 分別以每個頂點 為圓心，以 為半徑，做圓，命名為 。很明顯，當 時，所有相鄰圓都有至少乙個交點，至多兩個交點。
對於任意 ，把圓 和圓 的兩交點分別命名為 和 (當只有乙個交點時則令 )。
讓頂點 任取 、 之一（共 種選法），若 確實形成乙個 邊形，那麼由引理1， 自然是一組Chanyx對。
但是問題就出現在如何保證是乙個 邊形而不是如下圖一般？
此時我們可以把Chanyx對的定義一般化而不再侷限於 邊形，即我們不再要求 和 為 邊形，只要求他們分別為平面上 個不同的點，此時我們稱其為【偽Chanyx對】。引理1是對【偽Chanyx對】是同樣成立的。
借鑑猜想1，我們可以寫下猜想2，
猜想2：任意有序不同 點集 都有無窮個有序不同 點集 使得 形成偽Chanyx對。
猜想2證明的主要步驟在於證明的 種選法中至少有一種使為 個不同的點。這貌似是成立的。我還沒想出怎麼證。
不過當我們假設 是凸 邊形時，一切都變得簡單起來。主要是因為我們可以讓每條邊的垂直平分線只保留外部部分，並且這 條被保留的射線永遠不會相交。此陳述的具體證明略繁瑣，但是其成立較為直觀，故略證明。
定理：任意凸 邊形 都有無窮個邊形 使得 形成Chanyx對。
證明：取任意 \frac\max_i |A_i A_|" eeimg="1"/>，如上述過程作出點、 和 條射線 。對於每條射線 ，易知 與 只有乙個交點，定其為 。
有形成偽Chanyx對。易知 確實為 邊形，故形成Chanyx對。
注：這不是乙個極端嚴謹的證明，比如如何判定一堆有序點是乙個 邊形（任意兩邊無相交），且 是如何滿足這個判定的都沒有詳細寫出，但是其是直觀成立的。所以證明我就不寫了。
如果 是乙個任意 邊形，上述定理可能失效。
反例：存在 邊形 使得不存在 邊形和其組成Chanyx對。
思路：我們知道，當 時， 個圓 會無限趨近於同乙個圓 ，而 本來作為 和 的交點，也會趨近於 的一條直徑的兩個端點。
所以我們的方向是先構建一組圓 的直徑 （各不相同），其角度分別為 ，取 ，讓其端點分別為 ，讓 從裡選取，使得每種選取方式 都不是 邊形，也就是說必然存在兩線相交，指 與 相交。
為了必然引發矛盾（相交），我們先考慮一種簡單的情形，如下圖：
我們先假設連線 ，（也就是說 ）那麼為了避免相交，剩餘的頂點必然全在由 和 劃分的小弧圈內或者全在大弧圈內（若 在小弧圈內， 必然在小弧圈內；若 在大弧圈內， 必然在大弧圈內；以此類推）。
所以我們必然有下圖兩種相交之一：
同理，以 為連線起始點也會導致類似矛盾。
當然若我們選擇的是 （同理），如下圖
我們可以選擇暴力運算: 連線 會導致 在 的小弧圈內而其他點在大弧圈內導致必然相交；連線 會導致 與 ，分別如下圖：
當然我們也可以直接無腦複製 的設定給 ，同樣會導致必然相交，如下圖：
有了這麼一套會導致必然相交的直徑，接下來有倆個困難，乙個是尋找乙個 邊形使得其各邊的中垂線是這一套直徑（順序也要一致），另外乙個是處理當 比較小的情況。
我們先解決第二個困難，如何排除 較小的情況。我們知道 (不然存在倆圓無交點，自然就不存在 了)，所以我們可以讓其中倆條相鄰邊超級超級長，其他的邊超級超級短，形成鑷子式 邊形，如下圖：
那麼右邊區域內的頂點 為圓心所形成的 會相當接近，因為其半徑至少為 ，之後若要嚴格證明上述的思路，用以下想法：
我們可以使右邊的頂點處於乙個半徑為 的小圓之中，給定 ，考慮乙個半徑為 的同心圓，再內嵌乙個寬度為2的環：
那麼所謂 就其實必然處於這條環上，我們可以以一塊區域做 ，
之後導致必然相交的推理就很類似了。
之後就是如何把下圖
轉化為鑷子的右半部分，注意上圖的每條直徑是中垂線，而中垂線其實和原線段固定有90度的差值，所以我們只要旋轉90度後，把每條直徑當做原線段的方向即可，（或者先如此作圖，最後再旋轉回來，不旋轉回來也沒關係，一樣會導致相交），因為方向可正可負，我們只需一直選擇 軸分量非負的方向即可。
如下圖：
這些線段的中垂線們旋轉90度後就會與原設定的角度重合。最後在乙個合適的遙遠方加上最後乙個端點形成鑷子即可得到我們想要的反例，
只要鑷子頂端 足夠遠，這個 邊形的所有可能的偽Chanyx對都會存在自相交現象，導致不可能成為 邊形。
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