1樓：「已登出」
乙個剛考完物理的哲學系學生來答一下(因為考試內容主要是統計物理與量子物理). 主要參考自己的課堂筆記.
嚴格來說, "熵"理解為日常語言中的"混亂度"是不準確的. 準確來說, "熵"是某一巨集觀狀態所對應的微觀狀態的數量. 而"熵增"的現象, 指的是某些對應微觀狀態更多的巨集觀狀態出現的概率更高的現象.
舉個栗子: 拋一枚質地均勻的硬幣, 拋的次數越多, "硬幣某一面向上"的概率越接近於1/2. 從資訊理論角度來看, 這裡"資訊熵"有所增加, 因為概率越接近於1/2, 我們越無法知道哪一面會向上, 換言之, 我們的資訊量減少了.
這是資訊理論中對於"熵增"的看法.
但是, 這種看法僅僅觸及了"熵增"的表象, 而沒有回答物理學(尤其是統計物理)中"熵增"的根本原因(或者說, 資訊理論中對於"熵增"的看法, 僅僅從認識論角度回答了"熵增"的原因, 而沒有從本體論角度回答"熵增"的原因). 理論物理對於"熵"的增加的解釋是: 隨著拋硬幣次數的增加, 微觀狀態 - 每一次拋硬幣的結果 - 總數增加了, 從而"硬幣某一面向上的概率為1/2"這一巨集觀狀態(即"熵增")的實現方式的數量也大大增加, 因而"硬幣某一面向上的概率為1/2"這一事件出現的概率也大大增加了.
例如, 當我拋了4次硬幣時, "硬幣某一面向上的概率為1/2"這一巨集觀狀態的實現方式可以有一下幾種:
第一種: 上, 上, 下, 下
第二種: 上, 下, 下, 上
第三種: 上, 下, 上, 下
第四種: 下, 上, 下, 上
第五種: 下, 上, 上, 下
第六種: 下, 下, 上, 上
而當我拋硬幣的次數越多, "硬幣某一面向上的概率為1/2"這一巨集觀狀態的實現方式也越多, 因此也越容易實現, 因此其出現的概率也越大. 意即, "熵增"是一種高概率事件, 熵的增加這一現象本身不需要解釋, 只有當熵減少時, 這種異常現象/小概率事件才需要解釋.
"熱力學第二定律"並非道出物理世界本質的規律, 而僅僅描述了"某一高概率事件更容易發生"這一統計學事實. "熵"會增加, 因為"熵增"是一種高概率事件.
2樓：zasdfgbnm
實際上，兩個系統並不會達到熱平衡以後一直保持平衡狀態不變。龐加萊回歸定理告訴我們，只要經歷足夠長的時間，系統可以出現從平衡態到不平衡的狀態的演化。實際上，儘管表面上看起來巨集觀態比較平靜，只是漸漸達到熱平衡了而已，但是實際上從微觀的角度來看，系統中各個粒子的位置，速度等的變化簡直是天翻地覆。
每一組粒子的速度與位置的取值都構成乙個微觀態，在這些微觀態中，有的微觀態對應的是達到熱平衡的巨集觀態，有的則對應這非平衡的巨集觀態。平衡的巨集觀態對應的微觀態的數目，遠遠大於非平衡的巨集觀態對應的微觀態的數目。所以我們之所以會看到系統處於熱平衡，完全是因為概率已經大到你幾乎不可能看到其他的狀態了。
考慮兩個孤立系統A與B，分別具有溫度T1與T2。如果把這兩個系統放到一起，允許他們之間進行熱交換，但是仍然保持這兩個系統形成的大系統(A+B)與外界完全隔絕。常識告訴我們這兩個系統之間會進行熱交換，直到他們的溫度相同為止，也就是達到熱平衡為止。
從初始時刻兩個系統具有不同的溫度，到最後他們達到熱平衡，整個過程是熵增的。
用乙個比較形象的例子來比喻這個過程就是：
假設你跟你的室友玩撲克牌遊戲。遊戲規則是，把一疊撲克牌從中間一分為二，上半部分歸你所有，下半部分歸你室友所有；你跟室友各自把自己手裡所有牌的值相加，總和比較大的人獲勝。假設你的室友在作弊，在你們開始玩撲克牌之前，你的室友把最大的牌都放到了下半部分（這就好比於初始時刻A與B系統具有溫度差）。
第一局，好無懸念，你室友贏了。第一局結束以後，你們進行了洗牌（A與B之間進行了熱交換），洗牌並不徹底（A與B之間的
熱交換只是進行了部分，並沒有結束），大的牌仍然多分布於下半部分，而上半部分則以小牌為主（A與B仍然存在溫度差）。第二局，你室友又贏了，但是這次你們的差距就沒那麼大了（A與B
溫度差減小了）。隨著遊戲一局一局地進行，牌洗得越來越均勻了（A與B
逐漸趨近於熱平衡），你跟你室友的差距也就越來越小（A與B的溫度差越來越小）。最終，牌徹底被洗勻了（A與B達到了熱平衡），此時你跟你室友也開始不分勝負了各贏一半了（A與B溫度相等了）。自從牌被洗均勻了以後以後，不管遊戲怎麼進行，牌一次又一次被洗，每次洗出來的都比較均勻，你的室友總是沒那麼好運，從來也拿不到遠遠大於你的牌的組合，當然你也沒那麼好運（A與B達到熱平衡了以後就會保持熱平衡的狀態不再繼續變化）。
當然，這並不是說不管你怎麼洗牌牌都會那麼均勻，也許你第***次遊戲的時候，剛好把最大的牌洗給了室友，而最小的牌給了自己（兩個系統並不會達到熱平衡以後一直保持平衡狀態不變，
經歷足夠長的時間，系統可以回到最初的不平衡的狀態）。
再來分析一下打牌過程的牌堆的熵的變化。剛開始的時候，牌堆處於乙個極端罕見的狀態，此狀態對應的牌的組合的數目（微觀態數目）很少，所以初始時刻熵比較高。隨著一次又一次的洗牌，牌變得越來越均勻，牌堆也從開始的比較罕見的狀態逐漸變得不那麼罕見，整個過程熵在不斷增加。
最後，牌被徹底洗勻了，變成了最平庸的狀態，此時熵達到了極大值。牌洗均勻了以後，絕大多數情況下你繼續洗牌牌堆總會保持比較均勻的狀態，也就是熵不會減小，但是也不排除某次洗牌洗到了奇葩的情況（熱力學定律是實驗定律，並不是絕對不會被違背的）。
3樓：
其實確實沒有辦法證明熱力學熵增加是對的。熱力學第二定律只是斷言孤立系統的總熵不減少。並沒有任何道理說明熵不能保持不變。
當然，對於已知是不可逆的熱力學過程，可以透過人為構造乙個從末態返回初態的可逆過程與之構成迴圈，然後援用卡諾熱機的論證說明每次迴圈都會導致熵的增加。
但是，現實中幾乎沒有真正的孤立系統，而神奇的地方在於：總可以把有限的開放系統S看作是乙個假想孤立系統A的子系，用A的么正演化「模擬」出子系統S的不可逆過程。由於開放系統總可以被密度矩陣描述，所以可以透過純化（Purification of quantum state）將它視作從A的純態得出的約化密度矩陣。
給定S的初態和末態即可純化得到對應的A的初末態，從A的乙個純態到另乙個純態當然只需要么正演化，因此假設A是孤立系統是完全合理的。
在這個思想實驗中，只觀測S的觀測者會認為：S的熵增加了，這是沒有錯的。
但是S根本不是孤立系統，在這個情境裡和熱力學第二定律有關的應該是孤立系統A的總熵。由於么正演化的可逆性，其總熵保持不變。
換而言之，無論從乙個開放系統中觀察到多長時間的熵增，僅憑這點都無法說明總熵是增加的。
從這個例子可以看出，「證明」熱力學熵增加這件事本身意義不是很大。
1，你可以證明孤立系統在限定條件下熱力學熵必須增加，但是這只有參考意義，常見的系統都是開放的。
2, 你無法一般地證明開放系統的熵必須增加，並且每乙個熵正在增加的有限開放系統都對應乙個熵保持不變的有限孤立系統，可以把前者看作後者的一部分。這個孤立系統當然是假想的，可是：如果這真的是乙個有效的證明，那麼它應該對合理的假想系統也成立。
因此，還不如承認我們看到的熵增趨勢是一種從大量現實經驗中歸納出的總結，而不是能從底層的可逆動力學機制證明的推論。
4樓：獨魚僅一
上面幾樓所說的熵，是資訊學上的熵，並非熱力學上的、物理意義的熵。下面從熱力學的角度談談最原始的熵的定義。
物理學意義的熵（S），是指熱量（Q）和溫度（T）的比值。公式為：
S=Q/T
通常，熱力學只研究熵的變化情況，而非其絕對值，因此更常見的熵公式為：
dS=dQ/T
說說熵的來歷：
19世紀工程師卡諾發現了一種利用氣體作為介質的發動機（熱機）運作過程，首先是氣體等溫吸熱，然後絕熱膨脹，然後等溫放熱，然後絕熱收縮回到初始狀態。在這個運作過程中，氣體向熱源吸熱，然後向冷源放熱。同時對外做功。
這個迴圈方式被稱為卡諾迴圈。（也被證明是效率最高的熱機迴圈）
雖然上述的過程是可以迴圈進行的，但是很明顯的一點就是，卡諾迴圈並不能無限進行下去，熱源
在放出熱量後，溫度下降；而冷源吸收熱量後，溫度上公升。當熱源和冷源溫度相同時，卡諾迴圈就終止了。如何描述系統這種不可逆轉的屬性呢？物理學家們就定義了熵。
很明顯，在一次迴圈中，卡諾熱機從溫度為T1的熱源這裡吸收了熱量Q，然後釋放給了溫度為T2的冷源。那熱源這邊減少的熵為dS1=dQ/T1，而冷源處增加的熵為dS2=dQ/T2
因為T1>T2，所以dS1 而且可以證明，在熱力學範疇中，各種可迴圈的過程都無法降低總熵值，因此才有了熱力學第二定律。 5樓： 雖然可能是無意的，但上面那個帶圖和公式的回答，忽悠了本來就對概念似懂非懂的知友，有些誤人子弟。 只需考慮Loschmidt的反駁：任何聲稱只從可逆的物理定律就能推導出熵增的結論都是錯的。因此熵增只是對現象的描述，不是只從基本物理定律證明的結論。 為何？實際上，對於任何乙個熵增的微觀態，反轉所有粒子的速率就得到了熵減的乙個微觀態，反之亦然，熵增和熵減的微觀態是一一對應的。所以每個巨集觀態下允許的熵增和熵減的微觀態各佔一半。 一般認為，擺脫Loschmidt反駁的出路在於假設初始邊值條件。比如說假設初始時粒子的動量是uncorrelated的(有時被叫做independence假設)，或假設過去的熵值很低(big bang!)，等等。 假如是想問 生命進化的方向是不是會朝著低熵體的方向演進，這個 趙泠 已經有了很好的回答。假如是想問 為什麼會出現趨同進化，可以看看混亂博物館的回答 混亂博物館 進化有方向嗎？ 因為集體非實體啊！你看到的演變方向是集體的方向，那實際上是個體不斷的變化的總和。最典型的就是掠鳥鳥群 建議找個高爾頓釘板，給... 胡一鳴 考慮具有 個能級的系統，其玻爾茲曼分布的配分函式 作為玻爾茲曼分布的歸一化係數 為 其中 是玻爾茲曼常數，是溫度，是能級。則熵可以寫為 容易驗證 其中 是不同能級出現的概率，也就是玻爾茲曼分布的分布列，也就是不同的值所對應的softmax的函式值。用熵對溫度求導 現在就來計算這個二階導數。等... 一粒沙子 證明如下 乙個可以證明的命題可以表示為 前提A下若B則C.定理 乙個命題的真假與其逆否命題的否命題的真假值互異 學過命題的人都該看的懂 反正法的原理就是去判斷乙個可證明的命題的逆否命題的否命題的真假性 命題 前提A下若B則C 從而去證明這個命題的真假性。可證明的命題 前提A下若B則C.用上...既然宇宙是熵增的，而生命是以負熵為食，那我們何為還說演化是沒有方向的？
如何嚴格證明softmax分布的熵隨溫度係數的公升高而增大？
如何證明反證法是正確的？