1樓：
寫得有點囉嗦。
這個方程是delay-differential equation (DDE)。這個例子比較特殊，因為 的特徵方程是 ,限制在實數上解得唯一的 (復根會加入三角函式，不滿足解恆正)，從而得到對應的恆正的實數解是 ,正是這道題目的解。當然這個辦法比較侷限，比如加個符號 就解不出來了（可能可以用三角函式湊？
具體沒有算）。
可以給乙個形式的證明。由題設知 0" eeimg="1"/>，所以任意階連續可微。把 關於 處作泰勒展開，記 為微分符號，我們有
原方程化為 ，對應特徵方程 。
具體到這個題目
首先證明 。因為遞推式比較複雜，做乙個換元 .然後來證明 .容易得到
計算得到 . 由遞推式易知這個數列是被限制在 上的。
考察函式 0" eeimg="1"/>.容易驗證這個函式是單調增加的，且 .我們有 c, te^t>ce^t>ce^c=1, or\ e^
同理c" eeimg="1"/>
第二部分由定義知 0" eeimg="1"/>整理有
定義 。容易驗證， 0, L_2(x)<0" eeimg="1"/>。利用遞推關係 可以歸納得證明 0, L_(x)<0" eeimg="1"/>
最後一問，對任意點 當 時收斂到 。且 正負交錯，這個極限只能是0。所以在每點都有 ， 常數，所以 只能為指數函式的形式。
2樓：Narc
直觀地想，要求任意次導都只是自身平移一下，那大概只能是三角函式和指數函式，然後還要求正的，那就只能是指數函式了。
證明按我經驗可以試試把 f 寫成無窮級數然後展開解出係數（嚴不嚴謹另說，反正我學物理的
不過題目不是只讓你驗證解嗎，直接解這個方程絕對是超綱了（看你這是高中試題
這種方程叫 delay differential equalition (dde)，一般是會給乙個區間內的值作初始條件，然後解會是乙個分段函式
有沒有符合f x f x 1 的函式？
當然有把x寫為 t 令g t f t 得到dg dt g t 1 那你這個就是所謂的time delay system,又叫做retard functional differential equation. Huxley 這問題恰巧以前答過，在複數域內挺有意思的。不知道除了數學的意義，有沒有對應的物...
如何證明1的pi次方等於1？
Mephisto 以上定義符合中學生的認知，其它體系的定義這裡不必敘述。第 條，正負兩個方向都使用數學歸納法，可知 第 條，可知 第 條，任找數列 滿足 且 例如 由 得 一更我現在來解釋一下，我當初寫這回答的時候，是側重用有理數逼近無理數來計算的，中小學課本就是這樣寫的，現實中人們使用實數都只擷取...
如何證明1是最小的正整數？
Mr.He 這個是皮亞諾公理體系，與你把0仍不扔進自然數集合是沒有關係的，事實上，把零放進自然數裡，作為自然數定義的開始後，給出正整數的定義，即不等於零的叫做正整數，那麼事實上你仍然可以證明0是最小的自然數，然後利用1是0的唯一後繼數說明1是最小的正整數，也可以直接從正整數集合用歸納法得到。 比如說...