1樓：小亦
a^2 + b^2 = c^2
(a/c)^2 + (b/c)^2 = 1let sin(theta) = b / csin(theta) = sqrt(1 - (a/c)^2)lim(1-(a/c)^2) = 1 as a —> 0hence sup sin(theta) = 1shoujimazi tainanle
2樓：Aragorn
其實這個問題和 sin 沒有本質聯絡
證明自然數集在取模的意義下在圓周上稠密即可方法很多
要優（裝）雅（x）的話用龐加萊回歸定理吧
3樓：何巨集健
給你一些思路。
考慮到sin的週期性假設我們要取一組數列sin kN k為整數那麼如果N/(2pi)是有理數那麼這組數列是週期數列即這個數列構成成的集合只有有限個點。根據實數在區間上的性質顯然這樣的數列是不能逼近乙個任意的點的。
所以這裡核心的問題是在什麼情況下這組數列構成的集合是在整個區間上是dense的。換句話說對於任意乙個-1到1之間的數字能否由sin kN 無窮趨近。
我們知道sin是連續函式。如果你以後學了拓撲學會知道乙個dense集合的連續象同樣是dense的也就是乙個密集的。所以這裡只需要驗證 kN mod 2pi這個集合是否是密集即可。
如果N是乙個給定的有理數 k取自整數集很容易知道這是乙個密集。只需要證明存在乙個無窮小的數字即可再利用週期性得到整個密集。證明存在乙個無窮小的數字用反證法容易驗證。
4樓：予一人
事實上，可以加強證明 在 上稠密，即對於 上任意一點，在它的任意近處都能找到 中的點，用分析的方法來說，就是 0,\exists n\in\mathbb" eeimg="1"/>使得
為了證得這個結論，我們先不加證明地列出如下引理：
對無理數 任意 都是序列 的聚點，其中 [1]現在開始當前問題的證明。很清楚， 使得 如此，依 函式的連續性，將有0,\exists \delta>0,\forall x:|x-c|<\delta,|\sin x-b|<\varepsilon.
\\" eeimg="1"/>
現在，利用前述引理，命其中的 [2]就將有也即 於是依前述連續性，有
但是，注意到
利用三角恒等式 就推得
所以 這就完成了證明。
5樓：杜松
記得大一上微積分的時候清華的mlr老師給過乙個很妙的證法，不知道我記的還對不對：
部分和都逐項消掉了，很容易看出上下界，分別取實部和虛部就行
當時沒學複數，用的積化和差，思路是一樣的
6樓：挪威的一棵樹
可以用乙個整數去逼近乙個無理數的10^n倍。
分割線私以為，這個問題可以從一定程度上反映， 作為乙個number，是一定程度上rich的。
乙個rich number（disjunctive number），可以定義為：
A rich number or disjunctive number is a real number whose expansion with respect to some base b is a disjunctive sequence over the alphabet .[1]
而disjunctive sequence定義為：
說白了，乙個rich number是指，如果將該number看成乙個序列 ，那麼任意給定乙個有限長的序列，該序列都會出現在 中。
比如對於 ,那麼 ， 等序列會出現在 對應的序列中。
但對於 是否是rich number，尚未有定論。但如果 是rich number的話，那麼這個問題將會比較容易求解。（這裡修改一下條件，令 。）
令 ，可以看到 表示 的位之後的小數加 。
那麼 。
回顧， 表示 的位之後的小數加 。如果 是rich number，那麼對於小數 ，肯定存在乙個 ，使得 的該位後的小數能有效逼近該小數。從而使得 能有效逼近 。
從而使得 逼近於 。而 ， 是整數。故完成證明。
分割線鑑於已經有大佬完成了嚴格證明，因此綜合嚴格證明和以上分析，可以有如下推論：
對於小數 ，肯定存在乙個 ，使得 的該位後的小數能有效逼近該小數。
分割線這題應該有個一般版本，即對於 ，是否存在 ，使得 可以任意小。
不想分析了qaq
7樓：彭柯堯
為了書寫方便我就說cosN，sinN也同理令α=1/2π
於是就是取值就是cos(nα*2π)=cos(*2π)於是只用證明的下確界是0就可以證明了啊……如果這個還不會還是要學習乙個啊……
沒有任何嘲諷題主的意思，它是要按照基本法來膜的……
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