1樓：Anna
首先需要以下性質:
1) 零元的存在性: , , , 稱 是 中的零元, 並記為 .
2) 加法交換律: , .
3) 加法結合律: , 有.
4) 負元的存在性: 對於 , , 使得 , 我們就稱 是 的負元, 並將 記為 .
5) 乘法交換律: , 有 .
6) 乘法對加法的分配率: , 有 .
7) 乘法單位元的存在性： , .
並且定義減法為 , .
首先證明零元是唯一的.
若在 中零元不唯一, 則至少有兩個零元. 任取兩個零元, 分別記為 和 . 則對於 , 有 和 , 於是
(性質1)
(性質2)
(性質1)
這說明 中零元是唯一的. 這保證了零元可以參與實數域內的所有運算.
再證負元是唯一的.
若 , 其負元不唯一, 則其至少存在兩個負元, 任取兩個負元, 分別記為 和 , 則有 與 , 於是
(性質1)
（性質4)
(性質2)
（性質3)
(性質4)
(性質2)
（性質1)
這說明負元是唯一的.
最後證 , .
這是因為
(性質1）
(性質4)
(性質2)
(性質3)
(性質6)
(性質7)
(性質4）
回到問題
(性質4)
(性質6)
.這就證明了 是 的負元. 而前面已經證明了, 負元是唯一的. 於是就證明了對於任意的實數 , 都有 .
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