1樓：學半
大家知道，現代數學中微積分理論的基礎在於其極限理論。極限理論的漏洞或問題，就在於它是用ε-δ的不等式來建立的。
要在嚴格直觀的根基上重新建立數學，就必須用物質量杆「一尺之捶」自我量度（即「對折」）這種直接經驗的「重合相等」概念，以「實取其半」、求解得其「萬世不竭」之殘餘者的幾何物理方法（幾何分形及其張量態等）來重新建立極限，以定量刻畫物質的最小成分——量子及其運動規則。
陳江：物質的數論（物質的幾何學）
2樓：莘縣陽谷
對於應用數學而言這樣的定義確實不直觀也不好操作。但是，這樣的定義便於在理論上給整個分析學乙個堅實的基礎，也便於一些定理的證明和定義的操作。題主如果接觸一點大學數學分析的知識的話，會明白這個定義是多麼的好用和直觀。
3樓：
表述方式有如下幾種：
1、影象圖形；
2、聲音；
3、自然語言；
4、形式化語言（數學語言、流程圖、UML圖、化學分子式、有限狀態機，等等）。
形式化語言相對於其它方式，無歧義、無雜訊、抽象能力高、可演繹。
4樓：原子筆
有一些「趨於」是以越來越高頻的「遠離」去「逼近」乙個數的，以至你根本沒法用肉眼或者直覺說他到底有沒有逼近，比如sin(1/x) 在x逼近0的時候到底逼近了0沒有？
必須嚴格定義的。測度空間也有很多問題類似。
5樓：
舉乙個用"趨向於"很難解釋的例子吧.
設 是極限為 的乙個數列. 證明: 對於任一 的雙射 , 的極限也是 .
粗略地來說, 就是乙個有極限的數列, 任意"改變次序"之後, 極限不會改變.
6樓：sammy711
試著不用 來做一道題吧
求 答案是不存在，還是 呢？
答案是 ，事實上 的值不影響 ，但不用規範的語言是很難說明這個問題的答案的。
下面給出證明：
對於任意正數 ，都存在乙個 ，使得對於任意滿足 的 都有 ，所以極限是
7樓：
是的，歷史終將淘汰這種間接冗雜愚蠢的表述。keisler寫的教材《elementary calculus》是使用包含無窮小量的超實數系統來表示微積分的。並且有嚴格的公理化論證。
參看 袁萌專欄 - CSDN部落格
8樓：
那一套ε，δ的東西的確不爽，極限本質上是乙個"最接近某個數的值"。除了自己，沒有其他數最像(接近)自己。所以即使自己不在(未定義)，你的影子還在，沒有其他數能說最接近自己。
9樓：
謝數學大佬 @金騏 邀。
事實上這種「趨向於」的想法是非常自然而且合理的，在大部分簡易的計算中也往往是這麼直觀理解的。但這種表述並不嚴密，是不能進一步得到發展和應用的。
打個比方。一輛蘭博基尼在啟動的時候，裡邊的乘客覺得很刺激，下車後邊口吐白沫邊說「推背感好強！」大家都知道這是對蘭博基尼動力的評價，非常直觀，但是這樣的評價是不能寫進汽車安全性評估裡的。
為了衡量這種大力の推背感，我們需要一些精確的資料，於是有了百公里加速、加速度之類的引數。
「趨向於」的表述和「推背感」是一樣的。趨向於，那是多趨向於？相差0.
1？0.001？
為了衡量這種「趨向於」，在定義函式極限的時候，數學家引入了ε和δ兩個量。在《數學分析》(高等教育出版社，第四版) 第二章中，提到了ε的任意性(雖然這是對數列極限ε-N語言的說明，但是兩者有相似的思想方法，姑且拿來模擬)：
定義1中正數ε的作用在於衡量數列通項 與定數a的接近程度，ε愈小，表示接近得愈好；而正數ε可以無窮地小，說明 和a可以接近到任何程度。……
也提到了N的相應性，即定義「n≥N」中，N的值可以根據ε限定。在ε-δ語言中，這即是δ的相應性。
通過這種定義，我們就可以用乙個量來刻畫「趨向於」了。
然而這樣的解釋仍然是主觀的。在ε的任意性中，提到了ε可以「無窮地小」，這句話其實是乙個相當主觀的表述。為了說明無窮小的量確實可取，我們需要用到跟實數集相關的知識(稠密性等等)，水平有限，這裡就不展開細說了。
總而言之，ε-δ語言將題主的「y趨向於」用ε這個可以縮到無窮小的量來刻畫，「x趨向於」用和ε相關的量δ來刻畫，而「可以縮到無窮小」有實數集相關的理論支撐。這樣，ε-δ語言就構成了完備的函式極限的定義。
權當做粗略的解釋。
10樓：
其實在牛頓、萊布尼茨創立微積分之後，魏爾斯特拉斯引入ε-δ語言之前，一直有人在質疑微積分理論的合理性，覺得這玩意兒建立在「無窮小」、「要多小有多小」、「無限趨向於」這種根本沒法說清楚也難以讓人相信的描述上，是非常不牢固的.
當年質疑微積分的，甚至包括馬克思，他就寫過文章談到過對無窮小量的質疑和微積分理論的矛盾，畢竟這玩意兒一會兒是0，一會兒又不是0，確實難以讓人信服.
直到波爾查諾、柯西、阿貝爾逐漸將極限的定義嚴密化，魏爾斯特拉斯給出ε-δ語言的極限定義，才算真正解決這一問題.
也就是說，波爾查諾、柯西、阿貝爾、魏爾斯特拉斯他們想的是怎麼嚴密定義極限，以堵住微積分基礎的漏洞，讓整個微積分嚴密化.
你的思路過於獨特，偏要反其道而行之……
淳於建：為什麼極限的 ε-N 和 ε-δ 語言具有劃時代的意義？
為什麼要用極限來定義函式連續性？
換個角度看所謂極限語言其實就是乙個簡單的不等式方程組而已。而用方程去描述乙個東西不就是一件很正常的事情嘛。如何解不等式方程組？核心技術就是放縮法。我覺得吧，大多數人還是比較偏向這種方程思想的。 你覺得彆扭可能是因為它和你對這個詞的直觀印象不盡相符。數學上還有連通 道路連通 區域性道路連通 不過這些術...
怎麼理解關於 極限定義中的使用去心鄰域，而不是使用趨於某點這個說法？
Jameson 大致理解了題主的意思，但不知道我是不是百分百理解了，因此我將按照自己的理解指出題主說法中的不正之處。我覺得問題描述中的 如果在比某乙個 1 大的 之後都有任意小的 可能是杞人憂天了，因為題主你並沒有意識到極限定義中的 任意小 區間內的f x 都滿足 是乙個多麼嚴苛的條件 我就從題主的...
為什麼函式極限的定義會這麼複雜？
asdlittle 這個問題和數學史有關，尤其是第二次數學危機。如果你了解這段歷史，就會知道寫下這個 定義的維爾斯特拉斯有多麼偉大。古希臘的數學迴避無窮小量的說法，他們採用的是與戴德金分割定理等價的歐多克索斯比例理論來處理有關極限 無窮小和不可公約量的問題。這不是一套簡便易學的系統，你可以看看古希臘...