1樓：Nietzsche
可逆等價於雙射，所以很顯然必須是維數相等的兩個線性空間之間的線性對映才可逆，這也就說明了可逆矩陣一定是方陣。
然後關於滿秩，假設對映 T 是雙射，則 T 要同時是單射和滿射，但由於rank-nullity，滿足單射和雙射其中之一就可以. 而 T 滿射的等價條件就是滿秩.
2樓：天下無難課
滿秩一定可逆，且只有方陣才可能是滿秩的。
滿秩是說乙個向量組是線性無關的，且到達了線性無關的最大程度。這個最大程度就是指這個向量組的線性無關的向量個數與其維數相同，不多，不少。比如對於乙個n維向量組的，其維數為n，若該組向量也正好是n個，且都線性無關，則該組滿秩；若向量組再多加乙個向量進來，則該組向量線性相關；若拿掉乙個，只剩n-1個無關的n維向量，則也是不滿秩的。
矩陣就是乙個向量組。
這麼說來，只有乙個方方正正的矩陣(向量數與維數一樣多)才能成為滿秩矩陣。其它的矩陣，無論是胖的(向量多過維數)，或瘦的(向量不足維數)都不能成為滿秩矩陣，也自然不能被稱為滿秩矩陣啦。
從空間表達來說，乙個n維的滿秩矩陣可以把整個n維空間都表達出來。如果你現在搞來個瘦子，如同把基向量抽掉了乙個，它就不能把這個n維空間都表達出來了；如果你搞個矮子來(列向量維數不足n)，這就是乙個n-1維列向量組成的矩陣，更沒可能表達出n維空間了。只有能把n維空間都表達出來的矩陣才談的到滿秩，才可逆。
可逆矩陣必然是方方正正的。
3樓：冷眼看紅塵
滿秩矩陣在中國教材分為三種：行滿秩矩陣、列滿秩矩陣、可逆矩陣（既是行滿秩又是列滿秩）
但我個人認為只有可逆矩陣可以稱為滿秩矩陣理由也很簡單:
1.從代數或者計算角度看，非方陣的矩陣沒有行列式，一定不可逆
2.從幾何意義上看，不論列滿秩或者行滿秩都是缺失乙個維度也就是組成不了單個列向量或者單個行向量的同維度空間，也就是說矩陣被降維了，自然不可逆
4樓：水之蘭佩
恕我直言，你是自己無中生有了乙個樹樁然後一頭撞上去。你的問題描述完全是正確的，除了你的標題，我想從來沒有一本書會告訴你「滿秩矩陣」是可逆矩陣，除非是在特定的講方陣的章節，那麼會在這一章的開頭註明：若非特別說明，這一章中的矩陣都是指方陣。
即便如此，嚴謹的數學工作者也不會採用這樣的說法。
我想強調一點，如果不是方陣，我們沒有「可逆」這個概念。但是，我們往往會說行滿秩矩陣有右逆，列滿秩矩陣有左逆。以行滿秩矩陣為例來說明「有右逆」是什麼意思：
設 是 行 列的行滿秩矩陣，那麼存在 行 列矩陣，使得 等於 階單位矩陣。
5樓：Tian
這裡是說法的問題，滿秩分列滿秩和行滿秩。對於方陣，列滿秩和行滿秩才可能同時成立。
因為r(A) ≤ min(m,n)
一般不強調行和列，只說滿秩的話，指的就是行列均滿秩，也就是方陣。
為什麼矩陣的行秩 列秩 用秩一矩陣和逼近的最小項數？
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