1樓：陳憶秋
nullA = ，nullB = ，null(BC) =設v ∈ nullC，則Cv = 0 ∈ nullB，則B(Cv) = (BC)v = 0
因此v ∈ null(BC)，即v = 0因此nullC = ，C是單射運算元
有限維空間的運算元單性包含滿性，因此C可逆
2樓：天下無難課
簡答先：C可逆。
囉嗦後：憑啥這麼說？
從A=BC可知，A空間是乙個以B為基，以C空間裡的向量為「座標值」張成的空間，A必在B可張成的空間裡。現在已知A,B都滿秩，則A充滿B空間。
對於任何A=BC，只要A與B同秩，就意味著A充滿B空間，因為「A在B裡」與「A與B同秩」這兩件事同時存在的另外乙個說法就是A充滿B，也就是A空間與B空間重疊。
乙個作為基的矩陣B，它能張成的空間必定是n維的，而它能張成的空間的秩取決於它的秩r。如果滿秩，則有r=n，否則r＜n。但是，能張成秩r的空間只是B的潛能，最後到底能否張成，還要看係數空間C(右邊這個矩陣)。
這就是說，如果本來B滿秩(若B為n維的，就有能張成整個n維空間的潛能)，若對C沒有限制(也就是滿秩的了)，則B這組基就可以發揮潛能，張成整個n維的滿秩的空間，這時A就滿秩。
若B不滿秩，比如說秩為r＜n，則B的最大潛能就是張成乙個n維但秩r的空間(r＜n)。但它到底能不能發揮出全部潛能從而張成乙個秩r空間呢？這就要看C了。
如果C是滿秩的，就是以B為基的這套「座標系」在座標值的取用上沒有任何限制，B就可以發揮出潛能，張成乙個秩r空間(rA=rB)；但若C不滿秩，也就是座標值的選用是受限的，B就張不成乙個秩r空間，則必有rA＜rB了，也就是A沒有充滿整個B空間。而且這種沒充滿不是只差幾個向量，而是起碼差乙個秩的。
本題已經告訴你了有rA=rB(A,B都滿秩)，則必有C滿秩了，否則只有rA＜rB的結果。
所以，這個問題可以改一下，對於A=BC，只要有A,B同秩的條件，即便不滿秩，也可推出C必滿秩的結論。
這個結論若只從公式的操練上去「證明」，最後可能還是「不懂」的，若能從矩陣乘法中左右矩陣扮演的角色的原理上去理解，或就更容易明白了。
3樓：「已登出」
可逆的充分必要條件是行列式不為0.
證明是A^=A^*/|A|，A^*是A的余因子矩陣的轉置矩陣[1]。|A|是A的行列式。可知，行列式不為0與A^存在等價。
主要是補充 @wjc573 的答案。
[1]https://zh.wikipedia.org/wiki/逆矩陣
4樓：Yuhao
方法一求determinantis。
方法二 A=BC full rank decomposition 說明rankC=rankA
方法三 A=BC等價於 C=（B^-1）A，B的逆矩陣和A都可逆，C可逆等等
怎麼證明若A是乙個可逆矩陣，若矩陣H滿足 H A 1 1，則A H可逆。
王箏 鑑於另乙個答案的問題，我先明確一些定義。本來這些定義都是眾所周知的。假設 是線性空間，我們稱 是 上的乙個範數，如果滿足 正定 範數大於等於零，等於零當且僅當零元素 齊次 乘常數的話範數也乘該常數的模 三角不等式 額外地，如果我們假設 是個代數 有乘法結構，有單位 那麼我們稱這個範數是sub ...
那些矩陣不可逆？舉例子？
擇枝 上面回答的說 行列式為零 和導致降維度 可以結合起來看行列式determinant的定義是算出向量的物理意義，面積，體積之類的。而行列式為零意味著面積為零，體積為零，在原座標情況下不可變化 矩陣的意義就是使向量變換 所以導致矩陣不可逆。 導致降維的矩陣不可逆，比如說這個矩陣 在平面直角座標系中...
滿秩矩陣一定是可逆矩陣嗎？
Nietzsche 可逆等價於雙射，所以很顯然必須是維數相等的兩個線性空間之間的線性對映才可逆，這也就說明了可逆矩陣一定是方陣。然後關於滿秩，假設對映 T 是雙射，則 T 要同時是單射和滿射，但由於rank nullity，滿足單射和雙射其中之一就可以.而 T 滿射的等價條件就是滿秩. 天下無難課 ...