1樓：天下無難課
這個"交角不變"的問題分兩種情況，乙個是經A變換，兩根直線都會偏轉，但它們之間的夾角沒變，另外一種是經A變換，兩根直線的方向都沒變，它們之間的交角自然就不變了。
@Ptolemy 提到正交矩陣的"內積不變"的事應該是對應第一種情況的吧？就是對於任意兩個向量x和x，經A變換得到y和y，則y與y之間的夾角與x和x之間的夾角是一樣的(y與y的內積/模長乘積與x與x的內積/模長乘積同)。這則就是說，一般矩陣的都會使乙個向量發生伸縮+旋轉的變化，但正交矩陣對任何向量引起的旋轉變化的角度都是一樣的，就是y相對x的偏轉角度與y相對x的偏轉角度是一樣的。
這也意味著任何兩根直線經過A變換後，它們之間的交角是不變的。
第二種情況相當於問對於乙個可逆二階矩陣，是否一定有兩個特定方向(特徵向量)。如果有兩個特定方向，則這兩個方向上的向量(特徵向量)相互之間的夾角是不變的，則就是這兩條直線經A變換後是不變(方向)的。
在二階的情況下，對於A(a,a)可逆，只需要a,a不共線即可。假設它們都在第一象限，對於y=Ax，當x=(1,0)時，y=a，當x=(0,1)時，y=a。如果你用Excel錶玩過二維的y在A下的分布(參見我的想法)，你就知道這就意味著當x從0°方向轉到90°方向的過程中，y從a轉到了a(不足90°)，而a和a都在第一象限，x方向的轉變區域覆蓋了y方向的轉變區域，這就是說會在某個角度(0~90°)上，y與x重合，就像分針與秒針走到一起了。
而當x從(0,1)變到(-1,0)時，y從a變到了-a，這意味著y從第一象限變到了第三象限，y方向的轉變區域把x方向轉變的區域都覆蓋了，這就使y在這個覆蓋(第二象限)區域裡會與x有重疊的情況發生。當y與x同向(或反向)時，y與x就是共線的，這個方向就是"特徵方向"，在這個方向(直線)上的所有向量都是特徵向量，而在這個方向(直線)上的模長比例λ=|y|/|x|就是特徵值(有正負之分)。
從之上分析可見，只要a,a不共線，|A|≠0，在x轉動360°的範圍內，由於在x轉動90°度後，總可以有與y轉動區域全覆蓋(x覆蓋y或y覆蓋x)的情況出現，所以就能出現特徵方向。
但如果a與a是正交的，則x轉動90°後y也轉了90°，這兩個轉動區就不一定能全覆蓋(沒有乙個旋轉幅度全覆蓋另乙個旋轉幅度的機會)，就不能確保出現y與x共線(同向或反向)的情況。正交矩陣就未必有特徵方向了。
這樣看，正交矩陣靠變換前後兩根方向改變的之間保持它們之間的夾角不變來實現題主的"交角不變"，而可逆矩陣的特徵方向則用還方向上直線的方向不變來保證兩個(二階矩陣最多兩個)特徵直線方向不變，進而得到"交角不變"。
正交矩陣能確保變換前後兩條直線的交角不變，但卻未必有特徵方向(以及其上的特徵向量和特徵值)。
請問乙個普通的矩陣（比如乙個二階矩陣）能作為乙個向量嗎？
天下無難課 向量 是乙個陣列，就是把n個數組成乙個運算的基本單位，而線性組合就是用幾個這類陣列加起來，形成乙個新的陣列 向量 矩陣是啥？就是你選定幾個陣列，然後用乙個方框把它們框起來，那意思是我就要用這些陣列來做組合了。但是，每次做組合 向量加法 時所用的係數 由向量x來表達 或不同。所以，在y A...
為什麼引數方程的二階導數不能直接對一階導數求導？
ayamir 求二階導的過程就是對一階導接著導的過程，但是需要注意的是一階導是關於t的函式，所以這樣直接求得的是對t的導數，所以這相當於是個復合函式求導的過程。還需要再乘t關於x的函式求導的結果，而已知的是x關於t的函式。根據反函式的求導公式就需要乘x關於t的導數的倒數。即得到了公式，下面給個例子 ...
xgboost是用二階泰勒展開的優勢在哪？
蘇三 xgboost使用二階泰勒展開的目的和優勢有一下兩方面 1 xgboost是以mse為基礎推導出來的，在mse的情況下，xgboost的目標函式展開就是一階項 二階項的形式，而其他類似logloss這樣的目標函式不能表示成這種形式。為了後續推導的統一，所以將目標函式進行二階泰勒展開，就可以直接...