1樓：王箏
鑑於另乙個答案的問題，我先明確一些定義。本來這些定義都是眾所周知的。
假設 是線性空間，我們稱 是 上的乙個範數，如果滿足
正定（範數大於等於零，等於零當且僅當零元素）
齊次（乘常數的話範數也乘該常數的模）
三角不等式
額外地，如果我們假設 是個代數（有乘法結構，有單位），那麼我們稱這個範數是sub-multiplicive，如果
4. （如果 ，我們稱 的譜是所有滿足 不可逆的那些 ，所有譜的模的上確界稱為譜半徑。這裡加括號是因為本答案並不會使用這個定義。）
那麼我們要證明，如果 是某階方陣全體， 是乙個sub-multiplicative範數，那麼若……（如題主所述）
證明：根據Fiddle的答案，只需證明 可逆。因為 是有限維的，所以任何範數給出的度量都是完備的。
根據sub-multiplicity，我們得到 對任何正整數n成立，從而級數 絕對收斂，收斂的極限（因為完備性存在）不是別的，就是 的逆，結束。
注1：sub-multiplicative條件不可去除，否則的話隨便乙個範數乘常數還是範數，但是譜沒有變化
注2：（To @Fiddie ）如果給定乙個線性空間上的範數，那麼上面的矩陣可以通過 誘導乙個範數，這自動是sub-multiplicative。對於這種誘導範數，顯然成立譜半徑小於等於範數，因為譜都是特徵值。
但是並不是所有sub-multiplicative範數都是這麼來的，例如Frobenius範數。
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