1樓：
1.這個題目的表述不當。你話紅線那句話表達的不叫「趨於0的速度」，尓叫做冪零的階數。
2.實際上不存在你題目中描述的那種冪零矩陣。即
若A是n*n的方陣，每個元素均》0, 則A不冪零。
這個是顯然的。 因為trA>0.
我們還能進一步放寬條件，
如果若A是n*n的方陣，每個元素均》＝0, 其每行的和》0，則A不冪零。
記r>0是A的各行和的最小值。
注意到 A 保持第一象限R_＋^n＝［0，＋無窮)^n.
定義R_+^n上偏序 v>＝w, 若 v-w屬於R_+^n。 那麼則 A保持這個偏序。
考慮R^n上l^1範數， 我們有對任何v,w 屬於R_+^n， 若v>=w則|v|>=|w|.
記e=為每個分量都是1的向量。 則Ae>= re. 所以對任何n， A^ne>r^ne>0。 所以非0. 所以A不冪零。
最後，我想說即使在極限意義下，你的條件也不能推出A比B跑到0快。
其實用布勞爾不動點定理， 可以知道這樣的矩陣一定有乙個特徵向量在第一象限。
我們可以構造兩個2階矩陣 A，B。 使得A的每行的和都 構造非常簡單， A的第一列示(1/2,1/4)', 第二列0. B的第一列0，第二列(2/3,1/3). 注意到他們有相同特徵向量v=（1，1/2). 王箏 鑑於另乙個答案的問題，我先明確一些定義。本來這些定義都是眾所周知的。假設 是線性空間，我們稱 是 上的乙個範數，如果滿足 正定 範數大於等於零，等於零當且僅當零元素 齊次 乘常數的話範數也乘該常數的模 三角不等式 額外地，如果我們假設 是個代數 有乘法結構，有單位 那麼我們稱這個範數是sub ... 不言而喻。矩陣乘法的本質是什麼？秩就簡單啦，前面說過空間 到 的線性變換 可以寫成 到 基元變換的組合，那麼這個組合當然可以有很多種寫法，自然會問最少需要幾個基元變換？這個最少個數就是變換 的秩 先介紹乙個重要的定理 定理 設 是數域 上的乙個 矩陣，或者說，令 為 到 的乙個線性對映，那麼 式中，... 天下無難課 題主會不會把概念搞混了？題主這裡說的列向量與行向量相乘是內積吧？如果兩個向量正交，它們的內積為0。題主似乎是把這兩個向量正交時內積為0的概念推廣到矩陣相乘上去了吧？矩陣相乘的結果是乙個矩陣，向量內積的結果是乙個數，這個數為0就說明兩向量正交。題主可能就到過來用，說這個兩個矩陣正交了，就該...怎麼證明若A是乙個可逆矩陣，若矩陣H滿足 H A 1 1，則A H可逆。
如何證明兩個矩陣之和的秩小於每個矩陣秩的和？
兩矩陣正交，是否可以推出乙個矩陣的任意行向量與另乙個矩陣的任意列向量垂直？