1樓：gtw
我是用逼近的辦法去做的，這樣可以把某乙個矩陣變成正定的。寫的很長，但大體思路是把A化成正定的，AB就可以對角化，然後把ABC=CBA轉化為某兩個半正定矩陣交換，分塊的處理一下，得到ABC半正定。
我們用A_=A+tC(t>0)代替A。若A和C解空間的交集W是非平凡的，ABC(W)=0，因此可以用原空間(記作V)商掉W，得到\bar。A，C在\bar上誘導的線性變換解空間是平凡的。
A是正定的，存在可逆矩陣P，PABP^是對角矩陣，分塊的寫為D=diagI_}，I_是單位矩陣，\lambda_互不相同。ABC對稱等價於ABC=CBA，這等價於PCP^和D交換，那麼P^CP也是分塊的，且根據D的分塊方式，分成若干半正定矩陣。因此PABCP^是半正定的。證畢。
2樓：Fiddie
引理1若A,B對稱，且AB對稱，則存在正交陣Q使得 都是對角陣.
證明：見丘維聲的高等代數書二次型那一節
引理2設A,B均為n階正定實對稱矩陣，使得AB是對稱陣. 則AB也是正定陣.
證明：由於A,B半正定對稱, 由引理1，存在正交陣Q使得
其中 0." eeimg="1"/>於是
因此 合同於正定的對角陣，故 是正定的.
題目設A,B,C均為n階正定實對稱矩陣，使得ABC是對稱陣.證明:ABC也是正定陣.
證明：由於B正定對稱，則B的特徵值都為正數，記 其中 正交， 為B的所有特徵值. 所以可以記 其中 也是正定對稱陣.
記 則 正定對稱. 由條件(ABC對稱)可知 也是對稱. 由引理2可知 正定. 由於 與 合同，則 也正定.
注：把「正定」改成「非正定」的方法可以是考慮 其中 0," eeimg="1"/>這樣就得到正定矩陣，可以看另乙個回答
設A,B為n階方陣,且AB BA A,證明 A 0 ？
亦可用李代數中的不變引理來做 顯然由對易關係知 A B張成乙個solvable Lie algebra 由Lie s定理知存在一組基使得他們同為上三角陣帶入已知得到A對角線均為0 故A的行列式為0 2prime 反證加上算I A 1A的trace發現是0就是kuchler答案後面跟上B和B I相似的...
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