1樓：
這雖然是乙個數學問題, 但我作為學物理的看到這個問題首先考慮的是他的物理意義.
題主想要考慮的是如下形式的矩陣:
在固體物理裡, 這個矩陣對應著乙個有著次次次近臨躍遷的緊束縛模型. 根據固體物理的知識, 立刻知道這個系統的能量本徵值是
, (簡單起見, 我們取無關輕重的 a=0. )
其中 k 是動量. 剩下唯一的問題就是在這個問題中動量 k 是如何分布的.
有限大的矩陣對應開放邊界條件. 但熱力學極限下, 即當矩陣足夠大時, 開放邊界條件和週期邊界條件的差別很小(但開放邊界條件可能會存在表面態. 如果存在, 可能會有一兩個本徵值不能被上式所覆蓋), 因此這個結果作為估計應該效果是比較好的.
總結一下:
當矩陣足夠大時, 特徵值按照連續分布. 這就是題主想要的(漸進)解析表示式.
Talk is cheap, show me the result.
下面是實際對角化 3000*3000 的七對角矩陣的結果:
取 b=1, c=0.3, d=0.2. 藍線是實際對角化的本徵值, 紅線是由上式給出的結果.兩個結果完美符合!!!
實際上我們不需要取那麼大的矩陣. 對於 20*20 的矩陣, 這個解析表示式的結果也很好:
那麼這個結果是怎麼來的? 實際上是直接對微分方程做 Fourier 變換得到的, 物理上對應的是所謂 Bloch 定理. 具體步驟請參考任何一本固體物理教科書, 不在此贅述.
2樓：王贇 Maigo
這真是乙個好玩的問題。我先來拋點兒磚。
先複述一下題主的問題。題主研究的矩陣，是下面這種樣子：
因為最多有七條對角線非零，所以稱為七對角矩陣。
題主要求的，是這樣的矩陣的特徵值（以及特徵向量）。
首先，正如題主所注意到的那樣，主對角元的作用，僅僅是把所有的特徵值都平移一下，而對特徵向量沒有影響。所以，下面可以認為。
先看僅有b非零時的情況。我發現我居然在一篇專欄中研究過：
設矩陣階數為n，b=1，則矩陣第i大的特徵值為，其特徵向量為。
畫成圖是這樣的（圖中畫的其實是b=1/2的情況）：
圖中，由各個特徵向量排成的矩陣V比較亂，不太好觀察。
而我們知道它的各列都是正弦函式，所以我們按列取個傅利葉變換，就得到下面這個樣子（n取256）：
左圖為D的對角元（改成了從小到大排列）；右圖為各特徵向量的傅利葉變換的模。
特徵值小的特徵向量為高頻正弦，特徵值大的特徵向量為低頻正弦。
注意：
右圖中每列有兩處峰值，這是因為乙個正弦函式是由兩個復指數函式疊加而成的；
因為傅利葉變換是n點的，而特徵向量的正弦函式內分母為n+1，所以峰值頻率周圍還有一些旁瓣。
請認真弄懂上圖的含義，因為下面全都是這種圖……
當只有c=1的時候，矩陣的特徵值和特徵向量是這樣的：
特徵向量的變化比較明顯：現在每個特徵向量都是兩個正弦的疊加了。
其實特徵值也有變化：圖中的曲線是呈鋸齒狀的，第2k+1和2k（k為整數）個特徵值是相等的。
當只有d=1的時候，矩陣的特徵值和特徵向量是這樣的：
特徵向量為三個正弦疊加，特徵值仍呈鋸齒狀，第3k+2和3k+3個特徵值相等。
而當b、c、d中不只有乙個非零的時候，就好玩兒了。
比如 b = 1，c = 0.2，d = 0 時：
特徵值變化明顯：最小的和最大的一些特徵值變大了，而中間的那些特徵值變小了。
特徵向量其實也發生了微小的變化，只不過在圖上表現不明顯。
b = 1, c = 0.4, d = 0 時：
可以看到特徵值分成了兩段，第一段對應的特徵向量為兩個正弦疊加，而第二段對應的特徵向量仍為單正弦。
在 b = 1, d = 0 時，c = 0.25 是乙個臨界值。
b = 1, c = -0.4, d = 0 時：
特徵值也分成兩段，前段特徵向量為單頻，後段特徵向量為雙頻。c = -0.25 為臨界值。
現在再把d也弄成非零的，比如 b = 1, c = -0.1, d = -0.4：
則明顯分出了三段（蝙蝠俠？），各段特徵向量頻率數分別為2、1、2。
然而分段情況也千奇百怪。比如 b = 1, c = -1, d = -0.4 時，分兩段，各段頻率數為1、2：
b = 1, c = -1, d = 0.4 時，分三段，各段頻率數為1、3、2（雞翅……）：
我隱約感覺，分段情況與 @古幾公尺提到的差分方程的判別式有關。
我只是畫圖觀察了一下題主感興趣的七對角陣的特徵值與特徵向量分布，並沒有進行定量計算。
不過希望對題主和其他有興趣的讀者有所啟發。
3樓：古幾公尺
不知道具體的答案，只能拋磚引玉，簡單講講思路。
首先你的感覺可能有誤：五對角矩陣就需要求解四次方程了。所以七對角矩陣可能就沒有閉式解了。
過程可以參考https://www.
math.upenn.edu/~kazdan/AMCS602/tridiag-short.pdf如果是五對角矩陣就需要求解乙個四次線性差分方程，需要附加4個邊界條件
理想情況下，這個四次差分方程對應的四次方程可以套用求根公式，分析什麼情況下存在模長為1的根，然後就可以分析特徵值的分布了。
如何理解n階方陣相似於對角矩陣的充要條件是有n個線性無關的特徵向量（直觀理解）？
天下無難課 Ptolemy講的好，反過來再講一遍。按定義，對於乙個n階方陣A，如果它要能與乙個對角矩陣B相似，其充要條件就是要能找到乙個可逆矩陣P，使得A PBP。根據題主給的條件，A有n個線性無關的特徵向量，那麼，是不是就一定能找到這個P呢？我們來試一下。如果n階方陣A有n個線性無關的特徵向量，這...