1樓：張浩馳
這本書值得你擁有：《積分的方法與技巧》書名即直接坦白地交代了這本書要做什麼事情Orz。我想這種書也只有USTC會出版了。膜拜南七技校。
2樓：誰知道
（2023年12月6日更新）
解決題主的問題，需要解決的問題是熟記積分表和明確的是要將不定積分向著什麼方向轉化，所以我把之前寫過的一篇介紹不定積分計算方法的文章貼出來，希望對題主有幫助。
計算不定積分實際上就是根據導函式找原函式。求導的計算方法有一定的套路，對於任給的初等函式都套這些求導法則都可以找到導函式。但是不定積分不然。
不定積分的兩種運算律——換元積分法和分部積分法——都只是告訴你你可以怎麼算，但是並沒說這麼算一定能算出來。因此，不定積分的計算有十分強的技巧性。
遇到不定積分的時候要注意並不是所有的不定積分都能求出來，有的函式的原函式無法用初等函式的形式表示出來，因而相應的不定積分也就算不出來，比如,,,等。但一般在練習題和考試題見到的不定積分都是能算的，即便是遇到不能算的積分，題目也會有其他做法讓你不計算不定積分也能做出來。
在學不定積分的時候，有一位老師曾教過我三句話：背好口訣表，用好運算律，總結計算方法。如果說不定積分有什麼計算的套路，應該就是這三句話了。
若要想熟練計算不定積分，先熟練背誦並應用基本的不定積分的積分表是基礎，積分表不光應包括由常見微分公式匯出的那些，還應包括常見的不能直接求出來的一些函式的積分公式。積分公式背得多，做不定積分的時候被積函式轉化成熟悉的函式就更容易一些，遇到熟悉的形式就可以直接寫出答案，而不用現推了。
二、不定積分的運算律要靈活運用，尤其是換元積分法。在簡單的情況下，可以直接把d()當成乙個筐子，直接把數放進裡邊就是了，然後再在前面添係數（即湊微分，比如)，至於怎麼放，一切為計算服務。分部積分法要想用好，需要記住這個公式。
相比於,它的意義更鮮明一些，並且用的時候會幫你減少一些盲目性。
做不定積分的時候，你會發現很多題目的思路都是類似的，這些思路就是需要你去總結的，比如遇見三角函式，往往需要使用三角函式本身的公式來轉化；見到根式，就需要用換元法來脫根號；在用換元積分法沒有思路的時候，試試分部積分法可能就做出來了。
除了上面所說的方法，計算不定積分還需要多練習，這樣才能積累經驗，更快地找到解題方法。
下面介紹幾種型別的不定積分的計算方法。
一、湊微分型別
如果f(x)容易積分，那麼型別的不定積分需要用湊微分法做，但做之前需要能識別出這種型別的積分，識別出這種積分做出來也就不難了。識別這種積分的關鍵就在於熟練掌握各種基本的積分，即上面第一點所說的。
二、分部積分型別
處理不定積分不能只想著換元法，有時也需要用分部積分法。
（一）如果對某些式子的其中一部分積分，對另一部分求導，對所得的新的式子求不定積分會變得比原來更簡單，那麼這種情況就可以使用分部積分法，例如。
（二）有一些式子求導的結果有一定週期性，如、sinx、coshx等。當所求的不定積分含有這些因子時，可以考慮使用分部積分法。需要說明的是在處理這種題目時，計算的某一步中又會出現最初所要求的那個積分，這時應將這一步所得結果和第一步等式之前的式子看做乙個方程，通過解方程的方式解出所要求的不定積分結果。
當被積表示式含有正整數次冪時，這樣做得到的可能不是方程，而是乙個遞推公式，進而得到要求的積分。
三、只含三角函式的分式
處理這種問題的方法是先利用三角函式的公式降冪，使用萬能公式將各種三角函式統一為「」再將其換元，轉化為普通的多項式做分子分母的分式的情況。注意轉化時要化成同角的三角函式。
但在這些題中，這種型別的積分可以用更簡單的方法處理。取合適的係數使Asinx+Bcosx=p(Csinx+Dcosx)+q(-Dsinx+Ccosx)，，從而將原積分化為便於計算的和兩部分。
三、正弦余弦高次冪
計算三角函式的積分常常使用三角函式本身的一些公式來化簡，最常用的是二倍角公式和和差角公式，但在這裡由於冪次較高，用這些公式顯然很不方便。為了將正弦余弦的高次冪化為一次，可以使用尤拉公式和二項式定理
（尤拉公式及其推論）
四、有理分式（一）、分母的次數高於分子的次數
1、分子為常數，分母為Δ<0的二次多項式的k次方
處理這種問題的思路是將二次多項式配方，轉化為的形式，再用x=tant換元求出結果
2、分子有一次項和常數，分母是Δ<0的二次多項式的k次方
解決這種型別的積分的思路是把被積函式分成兩部分，一部分利用湊微分法來來做，另一部分使用分子是常數，分母為二次多項式的方法處理。拆的過程可以使用多項式長除法，用分子除以2ax+b。
3、分母為大於二次的多項式
三次及以上的多項式都能因式分解。處理這種問題時首先用待定係數法、賦值法等方法將原來的有理分式分解成部分分式裂項，再對每一項分別積分。當分母比分子高一次時，可以先把用分母的導數除分子，分離出乙個可湊微分的部分，再將剩下的部分用上面的方法分解成部分分式處理。
（二）、分母的次數不高於分子的次數
遇到分母的次數不高於分子的次數的情況是需要使用多項式長除法轉化為分母次數高於分子次數的情況。
五、只含三角函式的分式
處理這種問題的方法是先利用三角函式的公式降冪，使用萬能公式將各種三角函式統一為「」，再將其換元，轉化為普通的多項式做分子分母的分式的情況。注意轉化時要化成同角的三角函式
但是在這些題中，型別的積分有一種相對簡單的處理方法。取合適的係數使Asinx+Bcosx=p(Csinx+Dcosx)+q(-Dsinx+Ccosx)，從而將原來的積分轉化為容易求的和兩部分
六、含有根號的式子
（一）、根號內只有一次項（和常數項）的二次根式
處理這種問題可以將根號整體換元來脫根號
（二）、根號內只有二次項和常數項的二次根式
這樣的式子一般運用第二類換元積分法來脫根號。 換元時可以換成三角函式或雙曲三角函式（主要是雙曲正弦和雙曲余弦）。
（三）、根式內為一般二次多項式的二次根式
處理這種問題，需要將根式內配方化為根號內只有二次項和常數項的情況，也可以使用尤拉代換。尤拉代換是解決這種型別問題的通法，但使用這種方法也需要提前做好要做大量運算的心理準備。
（四）根號內為一次齊次分式的根式
將根號整體換元來脫根號，這種方法對大部分含有1 \right) " eeimg="1"/>的積分都適用。有些積分沒有直接給出這樣的形式，需要往這個方向湊。
七、其它
不定積分有很多種，因此也難以將他們的解題方法全部歸納出來。一般的不定積分，其計算方法往往是由其特徵決定的，根據其特徵，根據以往的處理類似積分的經驗，就可以去嘗試相應的方法。注意這裡只能說是嘗試，並不保證一定能做出來，因為有些積分形式相似卻不一定有相似的處理方法。
下面列舉了一些不定積分可以嘗試的方向。
當被積的分式分母次數減分子次數之差大於1時，也可以嘗試倒代換（即設）
當被積表示式中含有對數、指數、反三角函式時，可以將其設為新的變數，也可以嘗試分部積分法。
當被積表示式同時含有sinxcosx和sinx+cosx時，可以利用將它們統一起來。
當被積表示式含有時（尤其是a=1,b=0的時候），可以嘗試設ax+b=tant
3樓：張騫
我最近在複習考研，很明確地告訴你，有變數替換法和分部積分法這兩種最主要的方法，第一類換元法、第二類換元法、三角替換、倒替換其實都是換元法，除非非常簡單的，其它的都不可能心算的，起碼我是沒見過，教授也說了，有些演算法還是自己摸索體會出來的，所以勒，想要提高，還是做一些典型例題，分析一些典型方法比較靠譜。
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