1樓：動力牛子
沒有反例（下文證明前提是函式可導）
高中知識解決的話參見
若f(x)是奇函式，有f(x)+f(-x)=0,兩邊同時求導得f'(x)-f'(-x)=0，所以f'(x)是偶函式。
若f(x)是偶函式，有f(x)-f(-x)=0,兩邊同時求導得f'(x)+f'(-x)=0，所以f'(x)是奇函式。
2樓：Les Miserables
予一人確實是大神，他的回答很完整而且嚴謹了，但是他也加了條件，即在某個區間上連續的奇函式
也就意味著如果不連續那就可能出現反例。
他的第一句是f（0）=0，啟發：那如果f（x）在x=0處不連續，或者再大膽一點，沒有定義呢？
我們先來看這個命題的逆命題
f(x)=f(-x)，假設導函式存在，兩邊求導，則f』(x)=-f』(-x),是奇函式。
再回憶一下積分的時侯一直忘記加的c，很容易想到
f(x)+C=f(-x)的話求完導也滿足要求！
當然當C不等於0的時候要麼0處補充定義，要麼無定義，但是0處導函式肯定不存在了。
那麼C取1，不難構造如圖函式（公式編輯器沒會員所以字元能省就省了抱歉）
此時x>0時導數顯然是1，x<0時導數顯然是-1，0點處導函式無定義，導函式定義域關於原點對稱且滿足定義域內一切x有f（-x）=f（x），所以是奇函式，但原函式顯然不是偶函式。
順便吐槽一下，這道題很像今年外語類保送生浙大數學筆試的一道題，問的是原函式是奇函式是導函式是偶函式的什麼條件，必要性與這道題相同做法所以不成立，但是充分性的話有歧義，因為不知道要不要考慮導函式存在性的問題。比如說狄利克雷函式D（x），我令f（x）在x>0時為D（x），x=0時為0，x<0時為-D（x），由於D（x）處處不連續處處不可導，所以原函式導函式不存在自然也就不是偶函式。但是它放在第一題，我認為很有可能不考慮這個問題，造成了歧義，在此順便吐槽一下。
3樓：予一人
在某區間上連續的奇函式的一切原函式都是偶函式。這個是正確的，沒有反例。
證明如下：
設 是奇函式，則 於是，它的一切原函式均可表為注意到這就得證了。
奇函式的反函式是否一定為奇函式？
小侯 f的反函式是g f 2 3代表函式f輸入2，輸出3。f 2 f 2 3代表函式f再次輸入 2，輸出了 3。因為有反函式設為g，輸入f的輸出，輸出f的輸入。所以g 3 2，g 3 2。g 3 g 3 把2和3換成x和y如下。 我鬼生 證明 直接函式為奇函式則其反函式也為奇函式。證 設有奇函式y ...
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