1樓：
扣個字眼……題目說的是「原函式是週期函式」，注意前後主語的一致性，那就可以理解為， 是可導週期函式，而 ，此時為什麼 積分後不一定是週期函式。
這就很簡單了……乙個函式可導，並不意味著它的導函式可積啊，不管是黎曼積分還是勒貝格積分。
，這顯然是乙個週期函式，並且在 時導數為0，因此它是乙個可導的週期函式。但是顯然，它的導函式是無界的，因此黎曼不可積。為了考慮勒貝格可積性，可以忽略導函式中有界的成分，由於 和 的導函式都是有界的，所以只需要考慮中間一項：
是否具有勒貝格可積性。考慮原點附近的可積性，此時首先注意到，將 替換為1不會改變可積性，因為兩者的差值在原點附近有界；
出於同樣的理由， ， ，因此二者都可以進行替換（替換時的差值恰好抵消了 ，因此整體差值有界，不影響可積性）。最後，由於 和 是有界的，所以也可以進行替換。也就是說，只需要考慮 在 上的可積性即可。
考慮區間 ，那麼
只需要說明這個東西對 求和不收斂即可。但是我們已經知道 是發散級數，因此原式勒貝格不可積。
2樓：幻想鄉
最直觀的理解，假設導數處處為正，這函式顯然一直增加，從哪來的週期？
但反之，對乙個週期函式求導，顯然也是週期的。
對乙個週期函式積分，它確有週期性，但這是它增量上的週期性，就像是所謂的勻速運動和勻加速運動一樣的區別。
3樓：靈劍
就f(x)=1積分之後也不是週期函式啊……
其實分解成傅利葉級數就知道，三角函式的項積分之後還是週期的，但直流分量積分之後會變成線性函式，所以週期函式積分之後仍然是週期函式的充要條件是週期內積分剛好為0，也就是沒有直流分量。
f x 是週期函式且有最小正週期，問 f x 是否可能是週期函式？
wasaiii f x 2 3cos方x 2sinx乘cosx 3 2 3cos方x 3 2sinx乘cosx 3 cos方x sin方x 2sinxcosx 3cos2x sin2x 2sin 2x 60 所以最小正週期 2 2 解 令x 1,3 則x 2 1,1 故f x f x 2 x 2 同...
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