1樓：自學生
1對水面平面和球形曲面自然時間存在模型：證明了地面面積方格統一標準（1千公尺*1千公尺=1百萬方格平方公里）等於是無盡細分和放大時間變化積分模型。
2樓：Yuchen Wang
乙個直觀但不太嚴格的想法是，將這個看作「無窮維Fourier變換」。首先物理學家在幼兒園的時候就知道：
我們對它稍稍做個變形：
那如果嘗試將n取到無窮大， 就會變成 ，而 就會變成 。在 中，x就扮演了之前用來指示變數序號的i的位置。同樣，由於指數上要對i求和，在這個連續極限下就成為積分 。
於是上面這個式子就變為：
根據泛函積分的定義，這個也就是：
積分上的指數就是這麼來的。
3樓：YorkYoung
泛函積分對物理學家來說是個常用手段，也能又方便又好理解地推出很多場論結論，從我個人的學習體驗來說，正則量子化的體驗可以說是相當凌亂，充滿了各種人為而不自然的規定，而路徑積分量子化的一切看起來都是那麼自然。
但是對數學家來說，泛函積分簡直就是物理學家的群魔亂舞，其中充滿了各種缺乏良好定義，完全是通過模擬得出的無理結論，相對來說正則量子化除了零點能和重整化這些發散外，都可以被所謂「運算元值分布」解釋得很好，而所有的發散似乎都可以歸因於分布無法相乘通常只能做卷積（就算卷積都得要求其中乙個有緊支集）這一根源。
這裡乙個最大的問題在於 到底是什麼鬼？對數學家來說，無窮維是無法容忍乙個勒貝格測度的，因為勒貝格測度滿足齊次性 。
也就是說我們把乙個 維集合擴大 倍，它的體積應該變為原來的 倍，如果把 趨於無窮，那麼任何乙個體積為1的物體無論擴大多少，體積都會變為無窮，無論縮小多少，體積都會變為0。
我們又知道乙個可數維的空間中，乙個單位正方體起碼可以分成可數個邊長為 的正方體，而後者體積為0，這就和測度定義的可數可加性矛盾了。
我所知道的嚴格的泛函積分都必須借助於概率測度，通常都是高斯型的概率，著名的維納測度就是這麼乙個例子，但是高斯型測度也有個毛病，它的協方差運算元（物理上就是格林函式，微分運算元的逆）一定是非負的跡運算元，從而是緊的，很多運算元都達不到這個要求，物理上必須用到的微分運算元的逆別說緊了有界都辦不到。（維納測度的協方差是一維閉區間的二階微分運算元的逆，所幸是可求跡的，但是高維情況和無界區域都不行了）
所以我認為乙個務實的做法是，認為所有的泛函積分都是高維積分的一種近似，一切計算都必須還原到高維情況，最後求極限，在題主的做法中，他將解釋為了：
（這裡有個很有意思的小問題，我們通常都是預設等距格點化，會不會不同格點化的方式算出來的結果也會千差萬別呢？這可能是數學家們希望泛函積分嚴格化的原因。）
其實也是可以解釋成：
這樣就不會有發散了，這種現象也是常有的，我們做克萊因-高登場的量子化時取的就是
這個 可以抵掉複數高斯積分輻角部分產生的 ，不然 無窮多個 就會帶來發散。到了狄拉克場，就沒這回事了，因為所謂Grassmann數的積分並不是通常的多重積分（勒貝格積分），而是外代數的內乘，這就沒什麼事了。
從重整化的角度來說一切非零常數都是可以吸收的，即使它是無窮大，因為我們必須先格點化，這個時候任何常數都是有限的，只是隨著格點加密這些常數才會發散，我們要做的工作就是從這些發散的序列中找出有用的東西，從這個角度來看，在場論中無窮大的常數和1就是一回事。
所以 是平庸的，所以有4膠子頂點的QCD一圈圖可以不算。
當然這種湊合是我們無能的表現，我希望未來的數學家能夠想出乙個好的辦法，讓泛函積分變得更加自然，在這之前，我們只能展示接受連續場論是好的近似而已。
4樓：Jackie Lee
學量子力學的時候看到過這個式子，既然有理論物理的標籤，題主想必也是在這方面接觸到的該問題吧。本科的時候確實不太理解，研究生學了泛函分析、傅利葉變換，總算是搞懂了。這個式子
表示的是傅利葉變換，不能literal地理解成積分（因為 ，右端項不是絕對收斂的，勒貝格不可積），而是某個函式空間 上的變換。想要徹底搞懂這個推薦一本書，Zemanian，Distribution Theory and Transformation Analysis。不過題主只是學量子力學的話，沒必要搞這麼清楚，記住結論就行了。
物理影象更加重要， 物理上表示波矢為k的平面波，根據德布羅意關係具有動量 。這裡這個對dk的積分，表示的就是不同波矢（動量）的平面波的疊加。等號右端項表示所有波矢的平面波的疊加，動量完全不確定，而左端項表示具有完全確定的位置x，正好體現了不確定性原理。
5樓：abada張巨集兵
右上角公式中kx是二元函式，函式是數到數的對映，即輸入乙個數k和乙個數x，會輸出乙個數kx，也就是說，自變數是數，函式值也是數。
現在改為泛函，自變數是函式β(k)和f(x)，但是還是要輸出乙個數。定積分就是幹這個的。 輸入乙個被積函式，輸出乙個積分值。
相當於每給一條曲線，都可以得到乙個它圍成的曲邊梯形的面積值。這是典型的、最常見一種泛函：積分泛函。
對積分泛函再積分，叫泛函積分。積分泛函，泛函積分，是兩個概念。
如上圖，把連續函式的自變數做無窮小分割後，變成離散的每個函式值，即x1, x2, x3 ...等等各處函式的高度f(x_n)，每個f(x_n)都可以做成乙個向量(箭頭)，再使它們正交，再按向量合成法則合成為無窮維空間的向量。乙個無窮維空間中的位矢，與一條函式曲線，就有了一一對應的關係。
泛函的自變數可形成無窮維空間中的一張曲面(超曲面)。泛函積分就是這條無窮維空間中的曲面圍成的某種體積。
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