1樓：Winsor Dutch
高讚的dhchen師兄答的已經差不多了，我再從我的觀點答一下。非線性分析主要是處理非線性項的一套方法。所以只要處理非線性項的其實都可以歸到這裡來，比如Nash Moser 迭代,這個主要處理了small divisor的問題，並且匯出了HARD implicit function theorem，這個比一般的implicit function theorem 條件更弱一些的東西。
又比如不動點理論加上凸分析，著名的Nash均衡實質上是這裡面關於不動點的東西。單調性方法，推廣了單調性的概念，將單調這個概念推導到了非線性情形上。這個地方我記得不太清，dhchen師兄有好的解釋。
然後是拓撲度，比如Leray schauder degree,將求解的問題轉化為求degree的問題。實質上來說這個東西類似於復變的winding number。然後就是變分，Montain pass 的各種變式，將求方程的問題轉化為各種求泛函極值的問題。
在這裡很重要的技巧是compensated compactness 為了彌補泛函非緊的條件，這個方向已經還有比較有名的morse 理論，他是將我們微分拓撲的有限維推廣到無窮維的乙個理論，其中Morse inequality在求方程多解問題有很大應用。最後還有index theory,包括morse index,Maslov index,還有conley Zehnder index,前者基本是玩爛了，幾乎沒看過有人發展下去。而Maslov index的適用範圍僅目前來看不是很大，現在只有在哈密頓系統週期軌和天體力學(N body problem)以及finsler geometry上面可能會有比較好的發展。
而Conley Zehnder index 在N體方面來講有很大應用，不過就目前來講，這三個方向morse index能做的問題已經不多，Maslov做的話上手門檻高，預期發展低，C-Z index 也很難繼續往下做，很多難以克服的問題急需新工具的出現。所以這個方向不太推薦做下去。而傳統變分整體上已經需要新工具的產生，已經不太容易做的動。
就和本科知識聯絡來說，泛函和代數拓撲，pde都是很需要的。雖然名字叫非線性泛函分析，但卻不可以看成是泛函的延續，因為語言風格是很不一樣的。首先泛函的東西發展下去會是運算元代數，這些東西會往coarse gemeotry 方向發展，還與非交換幾何有著一些聯絡。
但確實泛函在非線性泛函分析裡有很基本的作用，如果不懂泛函是很難研究下去的。代數拓撲會往fiber bundle，cobordism，rational homotopy theory 這些發展,而做morse theory,會用到各種同調群。而pde的發展就太雜了，已經開始由做原來二階橢圓的問題開始轉變為做單個方程的問題。
方法也涉及harmonic analysis ,harmonic map,homonization,dynamic system。所以我倒傾向於非線性分析是一筐子處理非線性項的技巧的大雜燴，如果硬要往本科延續上來講，我傾向於把他往pde的延續上去講。
2樓：dhchen
第一部分是「線性化」，主要涉及的是一般Banach空間上的微積分，最重要的是隱函式定理，這個定理可以引導出「連續性」方法還能證明很多偏微分方程的存在性。值得一提的是，隱函式定理有一種被nash-Moser改進的版本。那個用處也很大。
第二部分是不動點，不動點理論有很多種，最簡單的壓縮映象原理自不必說。還有一種是基於序結構的不動點。 這種方法就是pde裡面一種上下解技巧的抽象版本。
在橢圓形pde中具有非常大的作用。第三種是Schauder不動點 ，你可以基於Ky Fan 不等式和KKM對映把它推廣到一般的多值對映中，而且你會發現這種不動點和鞍點問題息息相關，也就是說它和博弈論發生了相關。Schauder不動點的另一種發展就是拓撲度理論了，通過這種無窮維空間中的拓撲理論，可以研究各種問題的多解性，甚至能證明某些偏微分方程方程必然有無窮個解。
第三部分是單調運算元理論，單調運算元理論有線性和非線性兩種。 線性單調運算元理論更像泛函分析的延長線，這裡不表了。我們談談非線性泛函分析中的單調運算元理論，這種理論的核心其實是有限維逼近是Galerkin方法的一種「高階表達」，所謂單調性也可以通過偽單調等等來替換。
這方面Minty-Bouwder和Brezis的結果無疑是最重要的。這個工具各種完全非線性橢圓形方程的好方法。
第四部分是變分法/最優化。首先是自威斯特拉斯發源的直接方法求極小值，這種方法主要依靠緊性和凸性兩種基本思路，蠻有效的，可以解決一大類題目，涉及到的也不過是序列下半連續、緊、對偶泛函等等基本的東西。值得一提的是很多最優化問題/變分問題和最大單調運算元是息息相關的。
簡單的說把，乙個變分問題等價於某個最大單調運算元方程的存在性。變分法的下乙個主要思路是「拉格朗日乘子法」，主要解決是各種帶有（光滑）限制條件的變分問題。後續的發展包括了 Ljusternik-Schirelman理論，這些東西在研究分歧理論，特徵值問題，週期震動問題上特別有效。
失去了光滑限制，而是更一般的限制的時候，那就需要依靠凸分析技巧了，你可以得到Kuhn-Tucker理論，Dobovickii-Miljutin理論。後者可以看成是一種廣義的拉格朗日乘子法。
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