1樓：薛丁格的貓
注:我也不確定我的證明是否嚴謹
因此還請讀者自行判斷
如下圖所用到的四個鏈結在這統一羅列出來
定積分不等式性質1
閉區間可積必有界
可積準則1
達布和性質4
2樓：答疑貓
我們取以下的集合 ，顯然
如果對於每個 ，均有 ，那麼可數個集合的並 的測度也為0，這和 矛盾，因此存在
使得 0" eeimg="1"/>
所以積分的值大於等於 0" eeimg="1"/>
3樓：KYUUSYOU SAMA
預設可積函式都是指勒貝格測度下的可積，用切比雪夫不等式就很容易能說明
如果題主問的是黎曼可積，那黎曼可積也一定是勒貝格可積的，也可以同樣適用這些定理
4樓：悲傷的阿木木
只證大於等於0，是容易的。
要證嚴格大於0，會麻煩一點。思路是找乙個連續點，在這個連續點的區域性使用保號性，去證明這裡對積分貢獻乙個正值。
尋找連續點的方法，利用
黎曼可積的充分必要條件是幾乎處處連續
是顯然的。
也可以使用閉區間套定理去尋找乙個連續點。
5樓：予一人
對於性質定理
若 上的可積函式 則
證明是極其容易的，這只需要對明顯的不等式 取 的極限就夠了。但是對於如下的加強結論
若 上的可積函式 0," eeimg="1"/>則 0," eeimg="1"/>
證明就將變得比較困難。務必注意，對嚴格不等式取極限後通常並不能再保證嚴格不等，因此，即使我們可以仿前寫出 0," eeimg="1"/>取極限後也至多能得到 這無法排除等式成立的可能性，與待證結論仍有距離。可以預計，這個加強結論的證明，需要花費一點力氣。
十分清楚，這證明工作就是要排除這等式，於是我們考慮利用反證法。設若 則當 時， 上和收斂於零。於是，對任意給定的 0," eeimg="1"/>在 上恒能求得子區間 使得 對所有的 成立。
同時，可以斷言 這是因為，對於下述三個非負積分之和當且僅當它們同時為零。
既然如此，完全類似地，對任意給定的 0," eeimg="1"/>在 中又可求得子區間 使得 於其上小於且積分為零，反覆不斷地作這樣的推證，就可得到一列閉區間套 使得 對一切 成立。這裡，我們總可以保證 的長度以及 均收斂於零，於是依閉區間套定理，必可求得屬於一切 的唯一公共點 滿足 但這是不可能的，因為將這式子取 的極限後，將得到 矛盾。於是推翻反設，加強結論得證。
為什麼這個積分程式積不出來？
這個說實在的你用手做真沒問題，但是電腦程式犯怵。我不會程式，但是sympy應該使用了risch演算法加上上千條積分規則。我本人學藝不精，但是這個積分是代數擴域 對數擴域 代數擴域，需要取兩次積分基底，算一次結式，兩次變係數常微分方程和猜一次整數因子 小於3 程式很可能第一步就爆掉了。我看這個腦袋都疼...
處理變積分限函式的時候，為什麼要把積分限中的字母從被積表示式中處理掉？
Crane 變積分限這裡一般是對問題的求導，咱們隨便舉個復符合條件的例子 x,0 t x f t dt，再說乙個這個 x,0 f t dt,我覺得樓主真正想問的問題是上面這個函式直接x帶入肯定不對，然而底下這個卻可以。我們首先看第二個，我們設F x 的導數是f x 原式就可以直接寫成F x F 0 ...
原函式是週期函式，為什麼積分後函式不一定是週期函式
扣個字眼 題目說的是 原函式是週期函式 注意前後主語的一致性，那就可以理解為，是可導週期函式，而 此時為什麼 積分後不一定是週期函式。這就很簡單了 乙個函式可導，並不意味著它的導函式可積啊，不管是黎曼積分還是勒貝格積分。這顯然是乙個週期函式，並且在 時導數為0，因此它是乙個可導的週期函式。但是顯然，...