1樓：
特徵分解是矩陣代數裡面非常重要的一種分解方法。
當然脫離應用就有點說不明白。
大學裡很多教書的也只是照本宣科，所以導致大家都會算特徵值，特徵向量。
但是還是不太明白這些到底是個啥？
後來接觸機器學習演算法才算有一些了解。
特徵分解應該說是一種簡化線性演算法。
比如Ax=lambda x，A是矩陣，矩陣在任意應用裡都代表線性變換。
把向量x變換到另外乙個空間去。
而特徵分解就是把A用特徵值代替，這樣極大簡化了計算過程。
特徵值也一般有物理意義，比如梯度下降法裡面特徵值一般是指當前梯度縮減程度。
可以用特徵值來決定當前最小化是否可以接受。
2樓：鍵山怜奈
這個問題可能物理學專業的人比較好回答，量子力學裡物理量由算符（矩陣）表示，而特徵向量就是物理量可能的取值。
具體的我就不是很清楚了。
3樓：aluea
矩陣可以對任意向量(位不夠的都補零或補一)做變換，那麼變換的效果是什麼？
特徵值和特徵向量描述了這個變換效果。
如何運用這個描述來對向量進行變換？
矩陣A對特徵向量λ的變換效果為：將λ的模|λ|擴大特徵值x倍。
且特徵向量的單位向量是一組相互垂直的基底。
而任意向量都可以，正交分解到這組基上，以及垂直於這組基的向量上。
分解到基上的向量模擴大特徵值倍，垂直的部分不變，再合併向量即可。
小結，從空間變換的角度上，特徵值和特徵向量描述了矩陣的意義。
例如矩陣相似，相同的特徵值意味著兩者的變換效果是相同的，僅是基底所描述的向量空間不同。
4樓：天下無難課
看過乙個油管的解說，乙個事物的狀態需要用幾個數字來描述，這就構成了乙個向量；而事物隨時間變化，先後兩個狀態的變化如果有規律，這個規律就可以用乙個矩陣來表達，這樣就構成了乙個矩陣等式y=Ax，x是期初狀態，y是期末狀態，A是期間變化的規律。如果這個變化是乙個持續的過程，每一期都按A規律變，則每乙個y都是下乙個週期的x。這時，特徵向量就起作用了。
咋起作用的？我們都知道，y=Ax的關係裡，y一般與x不共線，為簡化問題我們以二維向量為例，你若按乙個方向(順時針或逆時針)對x取值(保持|x|不變)，y通常也跟著按順向或逆向變化。
如果你用y來作為下一期的x，在有特徵向量的情況下，你會發現y偏轉的角度會越來越小，當y踩到某個特徵向量所在的線後，就有y=λx，到這時候，下一期的y與前一期的y就一直共線了，就不再變了，該變化可謂收斂到了一根直線上。這個特徵方向就是這個矩陣變換的乙個收斂點。
對於研究狀態變化過程的人來說，能預先「算出來」這個特性方向，及其特徵值，就能對狀態變化的收斂(終止)點未卜先知了。
5樓：
我覺得，這個有很多原因，有數學的和非數學的。我不是做數學的，但是一點學科意義還是說得出來的。
數學來看，從高代層次，其實是為了研究相似關係下的不變數。當然，各階矩（由所有特徵值參與構成的初等對稱多項式，常見的特殊的，第一階矩是跡，最後一階是行列式）和各階冪和都是不變數（相似的矩陣共享特徵多項式）， 這些都是特徵值決定的，不論是對相似矩陣，還是相似變換。
代數學基礎的核心就是研究集合與對映。研究等價關係下的劃分集合（商集）的不變數（劃分條件）無疑是兩種思路之一（另一種是研究子體系，這是研究商體系）。研究清楚特徵值的性質與重數對於構建這種關係，找出商集的代表元素（Jordan標準型）很有意義。
還有幾何意義，放在下面講。
非數學的，意義則更多。我只舉一點物理和化學的例子。
比如物體的應變，可以有矩陣表示（只是表示！具體形式依賴於選擇的空間基），通過空間視角變換（乙個線性變換），可以找出主應變的方向及特徵，從而削去剪下應變，關於這一點，可以參考張量分析（黃克智，第三版），對於計算承重與分析受力情況很有意義。
其實這同樣也涉及到數學意義，矩陣是線性變換的一種表示，所以特徵值可以理解為由特徵向量構成的子空間上，這個變換作用到某乙個特徵向量上，以後可以增幅到原來的特徵值倍（負特徵值則反向）。
上面同樣是這差不多三四十年來高代教育的主線，即線性變換的幾何理論（好像是屠伯壎院士提出的），之前都教矩陣論為主，雖然可能貼近應用，但學生學得比較糊塗，不明確意義。
其實若放大到物理與化學的話，我認為本徵值問題可以看作乙個函式空間上的含參變換，這樣所有的本徵方程都可以化成乙個線性變換的特徵方程，這樣可以用代數學眼光去審視和構建解的結構，非齊次線性方程解是線性流形的結論則變得顯而易見。
我覺得倒不是為了什麼簡化計算之類的（如果到處是那種考查技巧的，那只能說現在出題人水平好差，只考察技巧，捨本逐末）。
我看到有其他答主寫了一階常係數微分方程組的通解的結構，這確實算是乙個不錯的應用（但是這種方程通常有實際初始條件的，用Laplace變換統一化成線性方程組不更簡單麼，只能說在純數學上有點意思吧，在實際學科裡，沒有邊界條件和初始條件的定解問題都沒有意義，平庸解也無意義）。
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