1樓：天下無難課
這個事是反過來的，乙個矩陣若有K個特徵方向(每個方向可用乙個特徵向量來表示，但每個方向上都有無窮個同方向的特徵向量)，在每乙個特徵方向上，向量y與x是共線的(同向或反向)，而它們模長的比值|y|/|x|就是特徵值λ(它的符號取決於y與x是同向的還是反向的)。
雖然特徵方向不同，但在不同方向上的模長比值可能是相同的，就是幾個特徵方向上的λ值是相同的。這事一點都不奇怪，也沒啥大學問在裡面，因為不同的特徵方向上並不強求模長比不得一樣。
線代書裡把特徵向量和特徵值的關係搞反了，好像是因為乙個特定的值才引出來特別的向量。那是亂扯的，特徵值的特殊之處在於它是在乙個特別方向上y與x的模長比(在別的方向上也可以有模長比，但不特別，沒意義)。只是現在在計算上先求的特徵值，再得到特徵向量，才讓人以為根源是特徵值，特徵向量是後來才有的。
搞反了。
特徵值重根根本不是個事，沒啥意義。但特徵值的數量是與特徵方向的數量繫結的，所以，有幾重根，就有幾多特徵方向(量)。
2樓：Mikevoven
注意到特徵向量是方程的解向量，所以
線性無關的特徵向量的個數=解空間的維數=-矩陣列空間的維數
有多少個線性無關的特徵向量，就只需要知道 的列空間維數即可，我們自然就想到用若當標準型來簡化問題，假定對應於 的 階若當塊為 ，於是 可以相似到
所以線性無關的特徵向量的個數最多矩陣列空間的維數最低
次對角線全為
的解空間維數為
線性無關的特徵向量的個數為 個
3樓：
矩陣有幾個特徵向量就有幾個特徵值 k重值有k+1個向量就說明有向量沒有特徵值了這是不可能的
k重值有k+1個向量就說明有向量沒有特徵值了這是不可能的k重值有k+1個向量就說明有向量沒有特徵值了這是不可能的
好奇問一下。。單一特徵向量可以有兩個特徵值嗎?好像不行啊時隔一年半…
n個向量有n個特徵值全部特徵值都為0也是n個反正每個人必須都得有不能沒有沒有乙個值我要特徵向量來描述什麼 k重特徵值對應了多於k的向量說明有的向量就沒特徵值了除非有人有兩個借給他乙個可以嗎不能你不能有兩個特徵值
真討厭你們這些學數學不說人話的
4樓：yuyu
在代數封閉域上，矩陣的重特徵值對應於維的廣義特徵空間。即
特徵空間是廣義特徵空間的子空間，因此維數小於。這個定理的證明請見《Linear Algebra Done Right》Chapter 8
5樓：
從 Jordan 標準形一下就能看出來，不過也有非常簡單的做法，下面提供兩個，都使用線性變換的語言描述。
方法一：
對於，設，其中是乙個重特徵值。
考慮的一組基，擴充為的一組基。
在這組基下，的矩陣是
因此的特徵多項式，而 k 是中的次數，因此。
方法二（簡易的 Jordan 標準形，但是不需要矩陣）：
設，其中是上的線性空間，且，考慮
這三個子空間，容易看出，利用 Bezout 等式：
可以看出。
注意到，由直和分解
因此不可能具有特徵值，因此必須具有重特徵值，這是因為所有特徵值放在一起恰好是的所有特徵值（計入重數）。
而是冪零變換（它的證明和這個本身很類似，略去，考慮它的特徵多項式有乙個非 x 的因式，可以進行類似的直和分解得到矛盾），因此具有重特徵值 0，也就是說具有重特徵值 0。
以上兩段話表明，而，因此。
6樓：馮白羽
若當標準型這些東西的證明呢，要用到-矩陣之類的工具，比較複雜。
要簡單來證這個定理呢，可以用這樣的思路：
給定某個矩陣
現在要證，如果它有乙個k重特徵值, 那麼它的特徵子空間維數不超過k,
也就是要證，假如對於某個特徵值, 它的特徵子空間的維數是k, 那麼它的代數重數一定大於等於k.
主要用到乙個引理：如果A有乙個k維特徵子空間，我們總能找到它的乙個相似矩陣B使得
,這樣顯然至少是B的特徵多項式的k重根，而我們又知道A和B的特徵多項式是一樣的，所以證明就結束了。
下面順手證一下這個引理。
既然的維數是k呢，我們就可以找到它的一組基，不妨記為, 滿足只要這裡.
然後這個呢，顯然又可以擴張成上的一組基，不妨記為那麼我們可以找到矩陣在這組基下的相似矩陣,這個B長什麼樣子呢？
把這組基作為列向量排在一起，我們得到,
而我們把寫成行向量的形式呢，,
並且滿足,
這樣就可以看出.
7樓：
設n階矩陣A的乙個k重特徵值是，那麼對應的特徵向量x就要求為0列向量，我們可以通過的矩陣的秩來求可能的無關的x的數量。
首先，可以通過相似變換把A變成Jordan標準形，即。注意可能對應多個的Jordan塊。那麼經過同樣的相似變換，得到的是它的Jordan標準形（經過相似變換，矩陣的秩不變）。
從這個新的Jordan標準形，容易觀察得到，秩是大於等於n-k的（因為Jordan矩陣的秩數是各個Jordan塊的秩數的加和，其他的Jordan塊沒有減少秩數）。特殊地，如果對應k個Jordan塊，的Jordan標準形的秩正好減少k，這是無關的x有k個，即對應的無關的特徵向量是k個。
綜上，對應的無關的特徵向量最多有k個。
為什麼n階矩陣為 0的K重特徵值大於等於 0的線性無關特徵向量？
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