1樓：
算是潑涼水吧，我覺得函式的不動點和矩陣的特徵值是沒有關係的。
只要考慮矩陣乘法的話，那麼矩陣是向量空間上的函式，所以矩陣當然是函式。不過「函式」的範圍太大了，什麼稀奇古怪的東西都有，矩陣只是性質非常優異的乙個分支。
一般說函式的不動點可能指的是拓撲裡的不動點定理（這個我就不懂了），也有可能是巴拿赫不動點定理，後者是為了說明方程可解性用的。當然，矩陣也可以有不動點，用迭代法求解線性方程的時候就是要用不動點定理，並且矩陣的特徵值也可以是不動點，比如假設矩陣 的特徵值互不相同，並且特徵向量的維度是滿的，那麼考慮迭代式 ，這個迭代式幾乎一定收斂於絕對值最大的特徵值所對應的特徵向量，而 收斂於絕對值最大的特徵值。
閒話就說到這裡。
@L.Sang 提到了譜，譜是特徵值的一般化，而線性運算元是矩陣的一般化（也可以認為矩陣是線性運算元的抽象），向量空間有完備和不完備之分，在其上的定義也會有些出入，在這裡一般考慮完備的內積空間，此時如果固定一組向量空間的標準正交基底，那麼任何線性運算元都可以表示成矩陣的形式。譜的嚴格定義是，對於連續線性運算元空間 ，如果 不可逆（就算其是可逆函式，如果逆函式不連續，則在連續線性運算元空間內 是不存在逆元的，此時視為不可逆），則稱 位於 的譜內。
如果空間是有窮維的，那麼 就是矩陣，而 就是矩陣的特徵值。
之所以要做這種事情，是因為我們想把一般的矩陣寫成盡可能簡單的形狀（不管是特徵分解還是若爾當標準形），這和函式不動點的初衷是完全不同的。對於一般的函式，連線性性都不滿足，根本無從談及基底與矩陣表示。對於任意的 ， 總是乙個常數，它的「特徵值」多得數也數不清啊。
不然你總不能要求存在 使得 恆成立吧？
可微矩陣的微分在區域性是近似線性的，因此可以對其應用矩陣的知識，的確數學上也是這麼做的，很可能也經常需要計算微分的特徵值之類。這時你就能看出，不動點是乙個整體的性質，而特徵值是乙個區域性的性質，二者是幾乎無關的。
函式分解應用的是內積吧，或者在區域性分解用的是泰勒展開，泰勒展開就不說了，傅利葉級數所做的事情其實是在把函式變換為乙個數列，這跟譜分解就又沒有關係了
2樓：jRONI
張恭慶泛函分析第一章講不動點的時候把函式方程寫成 ，這樣很方便地可以推到微分方程和積分方程的不動點形式
特徵方程，無論是線性代數還是泛函分析的，都可以寫成
對比以上兩個情況總的來說它們都是求乙個復合運算元 的核，在不動點 ，在特徵方程
相信現在題主應該已經看見了其中的聯絡。若進一步，特徵方程往往是線性運算元（既然是線性代數和線性泛函分析的主題），線性運算元是自同構，而不動點一般不要求這樣強的條件（於是用拓撲也可以研究）
總的來說特徵方程體現了一種乘法對映，從某個角度看（基變換）運算元的作用是對各個座標分別縮放。不動點沒有靈活的縮放係數（特徵值），所以是不動的
3樓：周舟
學科的研究物件構成集合;
集合中的元素(物件)符合一定的變換規則，構成空間;
空間中元素的變換也構成變換空間;
在變換(變化)中尋找不變數，是學科的核心。
4樓：Riemann
函式的本質是兩個集合之間的對映也就是函式可以看成是一種變換，那麼進一步就可以表示成乙個矩陣，那麼就很容易想到，函式的不動點就是lemda=1的情況。
5樓：Kang Yu
最近在重學美版線性代數，好像對這個問題有點點共鳴。應該和樓主有一樣的問題。
先說特徵值 Ax=λx A是乙個變換矩陣，或者說是一種線性運算元。我認為是和函式的對映法則f模擬呢。然後Ax=λx的意義不就是某幾個特殊的列向量x經A運算元轉換為自身的λ倍。
就叫做特徵向量了。 然後對於這個函式,乙個x在f的對映法則下得到的結果還是x。就叫做不動點了...
這兩個嘛，就很奇妙的聯絡。。
6樓：Sang.L
哇，能觀察到這一點題主很厲害啊…
對的，「函式」也有「特徵值」…其實應該說是運算元的譜…矩陣就是一種簡單的線性運算元。
譜就是特徵值和特徵向量的推廣…(不過我其實沒怎麼學過這個，只知道一點基本定義)
當T運算元， λI-T 不可逆， λ被稱為運算元的譜。有限維向量空間上的運算元的譜就是特徵值的集合。然而，無限維空間上的運算元在譜中可能有其他元素，並且可能沒有特徵值。
我用到過的乙個是傅利葉變換的譜，是Hermite 多項式…詳細可以參考維基…
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