1樓：
@dhchen的答案已經說了一些性質了，我也來說一些。
從定義上來說調和函式僅僅是C2的，但可以由C2推到C∞。調和函式的各階導數還可以由不等式控制，這直接推出了它的另乙個性質：定義在R^n上的有界的調和函式必然是常數。
由不等式還可以推出調和函式必然解析，所以以後可以直接預設它是解析的。
以上定理的證明在evans的pde裡面有。
還有乙個比較有趣的事情，定義在R^2上的有下界或有上界（不一定有界）的調和函式必然是常數（上面說的是有界必然為常數，這個條件明顯弱一點）。這個性質出現在譚小江老師的復變函式簡明教程的調和函式那章的習題中。證明是找乙個共軛調和函式形成復解析函式，然後運用weierstrass定理（非常數整函式必然在復平面中稠密，但它的實部有上界或下界顯然不能使它稠密）證明。
但我不清楚這個定理對R^n上的調和函式適不適用。
自由電場勢能和引力勢能等都是調和函式，所以自由電場和引力場中也會有調和函式的相應性質。
如何證明下面的關於調和函式的問題？
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