1樓：小雨可白
考慮計算 ，有
當然也可以用Stirling公式
再點綴一下
所以上圖中，藍色的線為 ，紫色的線為
我最後補充一下 不是 的漸近線，誤差約為 ，注意到 就明白，沒有漸近線
2樓：
乙個remark: 注意下這裡其實不能說函式 有漸進線, 因為
注意到 那一項, 說明這根"漸近線"的截距是unbounded的.
3樓：十里春風
最近複習數分，在看斯特林公式時看到的，可以證明x很大時，它的極限就是n/e，因此它看起來像一條直線。這個無論是結論還是證明過程都很漂亮，下圖是證明過程：
4樓：DONT
因為他們的值正好在一條直線上而已。
使用R語言畫一下。
先畫出x=【1,2,3,4,5,6,7,8,9,10】時，對應的y點，如下圖左上角的點線所示。
畫出x=[0,50]步長為1時，對應的y值，如下圖右上角圖所示。
將x的值進一步放大，擴大到x=[0,100]步長為1，對應y值，如左下角所示。
繼續擴大，減少步長，右下角圖為x=[0,150]步長為0.1的對應y值。
# 函式 y＝(x!)^(1/x) 的影象為什麼類似於一條直線（如圖）？
# 知乎ID：DONT
5樓：
當x很大的情況其他答主都說了，然而有兩個問題沒有解決：(1)為什麼它似乎一直都近乎直線？(2)肉眼可見這條直線有乙個nontrivial的截距，這個截距精確是多少？
答案(2): 截距是e^-γ, γ是尤拉常數 (參考附註)
答案(1): 看下圖的二階導影象，可以看出二階導數小於0而且絕對值從一開始就非常小。所以目標函式是凹函式, 而且斜率變化得非常慢。
所以你可以腦中想象這麼乙個影象，從0處開始，斜率1/12 e^-γ π^2~0.46178, 然後斜率慢慢單調減少，最終趨近於漸近線斜率1/e~0.36798。
可以想象這樣的函式無論從什麼尺度上看都很像直線。
附：計算結果來自wolframalpha; 截距的計算來自這條結論Gamma'(1)=-γ，這個結論的證明參見這裡的高票回答https://
6樓：
在x趨於0時，令t=1/x ，y=(t!)^(-t)，t趨於無窮大，（ln t!)~t(ln t -1)，由此可得到x趨於0的情況
7樓：馬晨
給Bazinga的回答作補充，抱歉不知道怎樣才能@到你。
我們的目標是 ，用Gamma函式寫就是 ，寫成積分就是：
對它求對數導數，也就是先取對數再求導數，有：
我們想要分析這個函式在x很大時的性質。
可以看到唯一的困難是Gamma函式在x很大時的性質，所以我們著重分析這個，利用積分表示：
做變數代換 ，得到：
把積分號下全部寫成e指數，得到：
這樣，我們把積分轉化成適合拉普拉斯方法的形式了。拉普拉斯方法是一種漸進分析方法，它告訴我們，下面這種形式的積分：
在引數 很大的時候，實際上只有 的極大值點附近的小區間對積分有貢獻。對應於上面的Gamma函式，這個 就是 ，它有極大值點 。應用拉普拉斯方法，上面的積分可以換成在 附近的積分，經過恰當的座標變換，可以得到：
（這基本上就是斯特林公式）
利用它，我們可以得到下面幾個式子：
把他們分別帶入最開始的對數導數，我們可以得到：
看到領頭的 ，我們基本上就看到了線性關係，因為：
要研究誤差，可以對兩邊求原函式，得到：
其中C是積分常數。放到指數上，就有：
第二個因子在x很大的時候是1，所以整個函式基本上是線性的。
用這種求導數的辦法，不容易定出斜率，所以我們不妨回到一開始的函式，並直接帶入Gamma函式的漸進表示式：
可以看到這個斜率是 。
以上就是對這個函式的漸近分析。
8樓：塵月
別的回答提到了斯特林公式，
但是沒有提具體的誤差是多少，我這裡做個補充。
帶誤差項的斯特林公式是這樣的：
不等關係的話也有個很好的結果
原諒答主是手機黨。。。
用不了公式編輯器得放圖
所以題主需要的函式在帶誤差項的時候，就可以化成下面的樣子：
這時候就可以看出來這個函式在n充分大的時候和那條斜率為1/e的直線相當在數值上非常非常接近了。
但數值上很接近了直線了這件事，其實是不夠說明函式影象十分接近直線的。主要是不能保證這個函式不會彎彎扭扭地在乙個小範圍裡振盪。
比如下面這個函式和y=x相差至多不過0.01，正常尺度下看也非常接近直線了
但是放大了看還是有些彎的，一點都不直，
所以這時候我們算一下曲率好了。
（有空算……待更新
9樓：
我也來湊個熱鬧，直接用Mathematica暴力求解，0、定義：
1、首先畫個圖看看，似乎像一條直線。
2、直接用Mathematica求導數得，即：其中，Gamma(x) 是伽馬函式，PloyGamma(n,x) 是雙伽馬函式的第 n 階導數。
3、然後求導數在 的極限斜率，為 。
4、當然求 在極限下的斜率，最直接的做法就是 @劉華帥 的洛必達法則。我這裡只不過是暴力了一點。
5、進一步看看 的斜率在 以怎樣的方式趨近於 ，近乎指數快趨近 。
6、我們進一步來看看 在 附近的行為，
發現這時候就不再是直線了，極度無規律。再看看其斜率，也是非常複雜的行為。
總結一下：
在 行為像一條直線，斜率以指數快的速度趨近於 ；
在 行為很複雜，不再是一條直線，斜率行為很複雜。
所以只要不是離 太近，看起來都像一條直線。對於肉眼來說，也許 10^" eeimg="1"/>就夠了。酒醬
10樓：Metheus
那麼 ， 顯然是線性的，而且可以證明 最終收斂於 （而且收斂得非常快），所以原函式就看上去是線性的。
紅線是gamma函式，黑線是斯特林公式
(2pin)^(1/2n)的影象，快速收斂於1
為什麼f x x x的函式在第一象限的影象，x約為1 3處，f x 達到最小值？
求導後因為 所以 得 就是你說的那個接近 的玩意兒。你的問題還挺多哈 問題1 問題2和3 換元 所以 問題4 求導 方程 ohh 只能數值解至於方程 還是數值解吧。 願聞其詳 問題挺多，乙個乙個說 Q0 為什麼最小值在接近 處取到？A 實際上是在 處取到最小值 對 求導即可 因為 所以 因此 Q1 ...
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