調和函式在什麼條件下在全區域內為0？歡迎both物理and數學上的解釋

1樓：

1.u為全空間Rn上的調和函式，存在1<=p<=ifinity,使得||u||2.非負調和函式，在全空間上存在一點為0，由harnack不等式，函式在全空間上為0；

3.下確界為0的非負調和函式，在全空間上為0（由liouville型定理可得）；

2樓：binjie li

從物理上來講，這描述了乙個穩態的熱傳導問題，且區域內部沒有熱源，那麼顯然在區域內部是不可能達到極值的，所在邊界上取值都為零，那麼在區域內部顯然也應為零

3樓：

如果是題主是在物理遇到的問題，那麼想要得到的結論應該是這樣的：如果調和函式在邊界上取值為零，則在整個區域內處處為零。

數學上解釋，這實際上是復變函式的乙個結果：最大模原理，我個人理解這是解析函式平均值定理的乙個推論，可以在任何一本復變函式或是復分析的教材中找到證明。當然這一結論的證明也可以不依賴於復變函式。

利用微積分的知識也可以證明這一結論。基本思想也是先利用Gauss公式證明平均值定理，題主可以參考相關的教科書。

物理上解釋，這裡可以提供一種看法。把調和場看作乙個給定區域內的靜電場，區域內沒有靜電荷（否則就不是調和場了）。我們斷言電勢極值不能在區域內取到。

以極大值為例，如果存在一點是電勢極大值，那麼在這一點附近電場都是離開該點方向的。在這一點附近取乙個Gauss面，根據Gauss定理可知內必然存在正電荷，與區域內沒有靜電荷的假設相違背。

另外binjie li指出無源的穩態熱傳導方程也會退化為Laplace方程，因此調和函式也對應乙個穩態且區域內部沒有熱源的溫度分布。從物理上看，似乎比較顯然顯然在區域內部不可能達到極值。所在邊界上取值都為零，那麼在區域內部顯然也應為零。

當然，有幾位同學的答案「如果調和函式在很小的區域內恒為0，它必在整個區域上恒為0」結論也是對的，但這實際上不是調和函式特有的性質而是一般解析函式所具有的性質。而且在物理上這個結論似乎也並不重要，只是偶爾出現在唯一性定理的證明中。

4樓：

這是 Harmonic function 的 Maximum principle 的特例，因為物理中，邊界上和無窮遠處的值經常為零。