1樓：芥川倞
樓上 @無懈可擊 已經提到了，說的是規範形的唯一性。
對題主的問題的解答可以是，因為任何乙個實對稱陣(或者說實二次型)都可合同變換成合同規範形：也就是矩陣為對角陣，且對角元素只含有 1,-1,0 的矩陣，而規範形中±1的個數就對應正負慣性指數。
同時，由於「合同」具有傳遞性，也就是說合同於同一實對稱陣 C 的兩個實對稱陣 A 和 B 也合同：如果 A 合同於規範形 Λ，且 A 經過合同變換變成 B (即A和B合同)，那麼由合同的傳遞性可知，B 也合同於規範形 Λ，即與 A 具有相同的正負慣性指數。
題外話(乙個推論)：
若題主了解實對稱陣的更多理論，比如實對稱陣必可正交相似對角化，此時也就使得同乙個變換能夠同時滿足「相似」與「合同」兩個概念的要求(不妨稱其為「相似合同」)
那麼因為實對稱陣 A 相似合同於對角陣，① 由相似可知，該對角陣的對角線元素即是 A 的全部特徵值；② 而(利用上述結論)由合同不改變正負慣性指數知，該對角陣中元素的 + - 號個數即是 A 的正負慣性指數
——也就是說，聯立①②可知，A 的全部特徵值中正特徵值和負特徵值的個數就分別等於 A 的正負慣性指數。考試輔導老師可能會講到這個性質…
2樓：好好學習的小企鵝
你要在哪個域裡面考慮?R上嗎？（其他域的話請定義正，負慣性指數）
R上的話這是對的。通過配方，把矩陣對應的二次型變為規範型。假設有兩種不同正（負）慣性指數的表達，不妨設正的不一樣，必有正慣性指數乙個多，乙個少，由於二者相等，令多的負部分為0，少的正部分為0，結合兩種表達，未知量之間有過渡矩陣，方程組有非0解，從而匯出矛盾。
具體過程參考高等代數教材
為什麼要研究矩陣的特徵值和特徵向量？
特徵分解是矩陣代數裡面非常重要的一種分解方法。當然脫離應用就有點說不明白。大學裡很多教書的也只是照本宣科，所以導致大家都會算特徵值，特徵向量。但是還是不太明白這些到底是個啥？後來接觸機器學習演算法才算有一些了解。特徵分解應該說是一種簡化線性演算法。比如Ax lambda x，A是矩陣，矩陣在任意應用...
函式的不動點和矩陣特徵值有什麼聯絡？
算是潑涼水吧，我覺得函式的不動點和矩陣的特徵值是沒有關係的。只要考慮矩陣乘法的話，那麼矩陣是向量空間上的函式，所以矩陣當然是函式。不過 函式 的範圍太大了，什麼稀奇古怪的東西都有，矩陣只是性質非常優異的乙個分支。一般說函式的不動點可能指的是拓撲裡的不動點定理 這個我就不懂了 也有可能是巴拿赫不動點定...
請教關於雅可比矩陣特徵值的問題，為什麼說是虛數，然後導致不穩定？
central difference的不穩定性如其他答案給出的，可以用von Nuemann stability analysis推導。如果再簡單直觀的一點，可以考慮乙個一維的邊界問題。如果使用central difference離散格點 i，方法只用了i 1,i 1的資訊，也就是說僅使用了奇數或偶...