1樓：Alucart
我對幾何方法的理解是：不依靠特徵多項式進行計算的方法。
稍微改一下題裡的符號：用 代表所有元素都是1的矩陣，也就是題中的那個 。則原題中的矩陣可視作 。
首先，注意到 的秩為1，則由零度-秩定理， 。那麼任取非零向量 , 都有 。因此，2是乙個特徵值，且特徵子空間 。
進一步地，可證明如果 ，那麼 。故 。也就是說， ，並且 。
其次，注意到題目中的矩陣每一行相加都是5。
而對於乙個每一行相加都等於同乙個數 的矩陣，如果我們右乘 ，那麼所得結果是 。這樣， 便是乙個特徵值，對應於這個特徵值的乙個特徵向量是 。
具體到本題中， 是乙個特徵向量，對應的特徵值是5。接下來算 的維數。需要注意的是， ，並且我們已經知道 ，我們還要要求 0" eeimg="1"/>。
這樣， 的維數隻可能是1。這樣，我們就可以得出 " eeimg="1"/>，即 是 的線性包。
綜上，兩個特徵值分別是2和5，其中 " eeimg="1"/>， " eeimg="1"/>。
這個方法個人認為某種意義上要優於用叉乘的方法，因為這個方法可以很方便地推廣到 的情形（盲猜題主發的圖的下一題就是關於這個的）。
2樓：楊樹森
我估計幾何方法就是去找線性變換下保持共線的向量，先求線性變換的特徵向量，再求特徵值。而在三維空間中，兩個向量共線的充要條件是向量積等於零。相應地，代數方法就是傳統的方法，先求特徵多項式的根，再求特徵向量。
原問題是求矩陣 的特徵值和特徵向量，其中
採用幾何方法，設 是 的特徵向量，則
記 化簡得到
解得 或
這兩種可能分別是乙個線性方程組，前者的基礎解系是因為 所以 是屬於 的特徵值。後者的基礎解系是因為 所以 是屬於 的特徵值。
採用代數方法，求出特徵多項式
所以特徵值是 求 的基礎解系
屬於 的特徵向量是 求 的基礎解系
屬於 的特徵向量是
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