1樓：等待小蝸牛
代數幾何與組合數學的交叉是很廣泛的。
過去的30年內，將代數幾何應用到組合數學中，產生了很多深刻的工作，有些解決了大猜想，比如 @poisson 提到的染色多項式的單峰猜想，有些提出的方法成為經典，對後來的研究產生了重大影響，比如我最喜歡的Combinatorial Nullstellensatz，還有解決Finite field Kakeya problem/distinct distance problem所引領的polynomial method。
應用方面，Algebraic geometry code應該是最近30多年Coding theory領域非常重要的研究課題，裡面主要會用到Riemann-Roch這類東西。
最近幾年，代數幾何的想法，又在極值圖論領域有了新的應用，我在此拋磚引玉了一下，由於篇幅較長，我把它詳細地寫成了一篇專欄文章
LXSZYX：代數幾何在極值組合中的應用——隨機代數構造
這個方法的核心是使用有限域上的隨機多項式定義隨機圖，著名的Lang-Weil Bound給出的不光滑的概率分布，對我們控制一些壞結構數目的期望提供了巨大的幫助。其它內容基本都是極值組合學中常用的概率方法。
可見，代數幾何在組合數學中已經/正在/將要發揮巨大的作用，很多深刻的代數幾何工具，都有在組合數學中發揮作用的潛力。
2樓：CNLN
關於Combinatorial Algebraic Geometry提過的Toric算是很有名的一種了
我在做的關於Hilbert Scheme的應用也很有意思還有Moduli Space/ Okounkov bodies/ Schubert Varieties
還有就是最近(?) 比較熱門的Tropical Geometry
3樓：失落的宇宙·重生
沒人說Ramanujan graph 的顯式構造嗎，基於Ramanujan–Petersson conjecture，而後者又基於Deligne對Weil conjecture的證明
4樓：Young Mathsoul
我說乙個，可能算不上是純代數幾何，Alon的組合零點定理，好吧這個好像已經有人說了。交換代數中Monomials ideal好像在組合中也有應用。
5樓：迪普樂寧Fan
經過知友的提醒，我將問題裡面代數幾何方法理解成代數\幾何方法了，所以以下答案不看也罷！
代數方法在組合裡有很多應用，比如代數圖論。每一幅圖都會對應乙個拉普拉斯矩陣及無號拉普拉斯矩陣，通過研究這個矩陣可以得到關於圖的性質，我的導師管這個叫做聽音辯鼓。這個領域的基石是perron frobenius定理。
我當時的研究課題是估計一種正則圖的譜和乙個關於二步圖的猜想
6樓：花生醬
不知道 polynomial method 能不能算……
這一類方法最初確實是從代數幾何中發展出來的
Noga Alon 最初發展了他稱為組合零點定理（Combinatorial Nullstellensatz）的技術就是仿照的希爾伯特零點定理（Nullstellensatz），
這個方法在 incidence geometry （乙個小栗子是 07年 IMO P6）和 graph coloring （例如 neighbor-sum-distinguishing edge coloring 這個問題裡乙個重要的結果就是用 combinatorial nullstellensatz 做的）等問題中都有重要的應用。
後來又有一系列類似的工具，被稱為 polynomial method，核心思想都是利用多項式零點的性質證明組合問題，尤其是在離散幾何類問題中用的非常多，比如 Kakeya problem 和 Erdos distinct distance problem。Guth & Katz 在 2015 年解決了 Erdos distinct distance problem 應該算這一類方法的代表作了，具體的科普可以看 Terry Tao 的部落格，他寫了很多非常精彩的 notes。
當然除了這個還有很多，本科時聽過一系列講座講到圖論中的 Riemann-Roch 定理，但我並沒有聽懂而且做的方向也和這塊沒什麼關係，所以一直不知道具體是什麼。
7樓：
我以前被科普過乙個例子，是June Huh證明了圖論裡面的染色多項式的單峰猜想。 據說這個猜想好像有差不多50年的歷史，在圖論裡面很有名。Huh的證明是用了些奇點的方法做的，當時還有些小轟動。
不過我沒看過那篇文章，具體怎麼做的就不知道了。
8樓：包遵信
能想到的乙個應用就是 Ehrhart polynomial.
中學數學競賽有個很初等的定理，叫 Pick 定理，說任意乙個頂點為整點的多邊形面積等於內點個數加上邊界上頂點數的一半再減1. (.) Ehrhart polynomial 可以看做這個結論在高維情形的推廣。
如果 是中頂點為整點的 polytope, 考慮上的函式（的倍中整點的個數）. Ehrhart 的乙個定理說，是乙個次多項式，另外 MacDonald 證明了乙個對偶性質 .
這個純組合的結論可以用 toric variety 來證明。任意乙個頂點為整點的 polytope 都給出了乙個 toric variety 及其上的乙個 ample line bundle, 就是那個線叢對應的 Hilbert polynomial. 如果沒記錯的話關於的結論就是這上面的 Serre duality.
所有 toric variety 的結論理論上都可以用來研究 polytope, 上面只是乙個很小的例子。
無窮範疇理論在代數幾何中有何應用？
1.Stable infinity category擁有比三角範疇在某些方面好得多的性質。例如additivity of traces是乙個著名的例子 Ferrand最早發現了三角範疇中的跡不滿足加性 On the non additivity of traces in derived catego...
代數學在電腦科學中有什麼應用？
部分機器學習演算法要用到最優化，最優化本質是帶約束或者不帶約束的極值，裡面要用到導數。微分流形什麼的可用於提取高維空間中的低維規律，在機器學習裡面可用於降維。 太帥不顯示使用者名稱 目前是在密碼學 編碼理論方面廣泛應用。具體參考一些書籍。因為代數理論在拓撲學中占有重要地位，而拓撲學目前已經突破它自身...
線性代數對角化在實際生活中有什麼應用？
你每天用的搜尋引擎，推薦系統中，或檔案壓縮應用中，有可能就涉及到解矩陣對角化問題。對角化，一般是指SVD分解，如果矩陣剛好是對稱的，也可以叫相似對角化。對角化其實是很難的，因為一旦能對角化，就可以求出矩陣的特徵值，這是乙個無法在有限時間內完成的任務。對於對稱陣，Jacobi迭代法和power met...