1樓：
你每天用的搜尋引擎，推薦系統中，或檔案壓縮應用中，有可能就涉及到解矩陣對角化問題。對角化，一般是指SVD分解，如果矩陣剛好是對稱的，也可以叫相似對角化。對角化其實是很難的，因為一旦能對角化，就可以求出矩陣的特徵值，這是乙個無法在有限時間內完成的任務。
對於對稱陣，Jacobi迭代法和power method可以通過迭代的方式求得逼近解。power method被用在page rank演算法中。page rank演算法的發明，把搜尋引擎帶到了世界，極大地方便了資訊檢索，並幫助Google拿到投資。
除此之外，基於矩陣因子化的推薦演算法，也有可能會用到這些演算法去求解SVD。
除了搜尋引擎和推薦系統以外，還有很多其他由實際問題衍生出來的優化問題，其最優解可能就是矩陣的某個特徵值，或奇異值，或者和矩陣的特徵值或奇異值有關係，此時也需要通過對角化將其解出。舉個例子，在判斷梯度下降法的收斂速度時，有個指標叫condition number，這個指標量化地描述了目標函式的凹凸程度。當優化問題是最小二乘問題的時候，condition number的計算方式是，Hessian Matrix的最大特徵值除以其最小特徵值。
這個時候就需要通過對角化來求解Hessian矩陣的特徵值了。
2樓：Gordon
為什麼一定要在生活中有用呢…
其實也是有的。乙個很簡單的栗子。考慮乙個剛體的定點轉動。
一般來說，剛體的角動量和角速度方向是不同的。有J=Iω，I是慣量張量，你可以把它當成乙個3×3的實對稱矩陣。這麼原始的東西是不好用的，但是由線性代數我們知道，乙個實對稱矩陣總能通過相似變換對角化，並且對角元是實的。
這個時候，我們就通過對角化找到了三個方向，如果角速度在這三個方向中任何乙個上，角動量和角速度的方向都是相同的。這三個方向就是剛體慣量主軸的方向，取剛體慣量主軸座標系處理問題更容易求解。由此可以設計出陀螺儀等等裝置。
上面這個例子是物理的，但是別的方向也有用。比如說的很多的影象壓縮。對於乙個矩陣，我總可以通過奇異值分解得到一系列奇異值，這也是對角化的。
如果我把所有奇異值從大到小排序，然後只保留前k大的奇異值，這樣就可以實現儲存的壓縮而質量不會損失太多。降維、特徵提取也是差不多的。
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1.柯斯特利金的代數學引論三大卷 2.柯斯特利金另有一本 linear algebra and geometry 3.shafarevich 也有一本 linear algebra and geometry 5.gtm 135 6.黎景輝，高等線性代數 7. 臭魚爛蝦 這本書可以彌補同濟版讓人詬病的...