1樓：半個馮博士
先回答兩個問題：
2、矩陣顯然是不能替代微分運算元的。微分是解析運算，是一種極限意義下的運算，而線性代數只是線性的運算，不具有極限意義。
接下來扯幾句它們的聯絡在何處：
對於任意空間到另乙個空間的座標變換：
這裡直接對 x,y 求全微分，可以得到：
這裡就出現了乙個十分有趣的現象：對於座標變換 x,y 到 u,v，它們是任意變換（當然g,h必須可微），然而從dx,dy到du,dv卻成了乙個線性變換的形式：
這裡我們記雅可比矩陣為：
如果它可逆，則其逆矩陣剛好是：
此時如果在x,y平面上做乙個矩形，它的長寬分別為 dx,dy, 那麼在上述變換下，其對應在u,v平面上的平行四邊形面積就可以算出來了。這裡詳細內容我在另乙個回答已經說明了，可以參考：
為什麼二重積分極座標變換多乙個r?
在你們的非專業教程裡面，線代通常是作為計算工具存在的，尤其是矩陣更是為簡化記法起到了巨大的作用：
對隱函式組：
兩邊對x求偏導得：
注意到其係數矩陣又是乙個雅可比矩陣，該線性方程組用克萊默法則一步到位。
看著是不是很眼熟？一次項變成了x-a向量與f的梯度的點積，2次項剛好變成了2次型，而此處的H（x)則剛好是Hessian矩陣：
如果引入向量（矩陣）求導，那麼上述許多內容還可以進一步統一，因為雅可比矩陣實際上就是乙個向量對另乙個向量的導數：
仔細看看上面，如果我們令黑體y = (u,v)，黑體x = (x,y)，那麼就剛好是上面所說的雅可比矩陣了。
這部分的詳細內容我在這裡有詳細描述：
如何理解矩陣對矩陣求導？
當然矩陣求導這個話題還可以進一步延伸，但可惜的是只要有矩陣參與，就必須再引入Kronecker乘積了，否則通常不具有鏈式法則。這部分內容可以參考文獻：Kronecker Products and Matrix Calculus in System Theory。
PS：尤其在多元函式部分，矩陣和線性代數的用處極大。如果能熟練掌握線代的運算技巧，再結合幾何意義，你的多元函式積分可以飛起來玩。
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