1樓：我心永恆
乙個mn矩陣A，乙個nm矩陣B，那麼AB和BA均為方陣。他們具有相同的非零特徵值。自己推出來的，在推導柯西比內定理的時候，就有點想法，然後今天推出來了，蠻有意思。
只是不知道如何從幾何圖形上看出來，或者有沒有不用行列式的純矩陣的推導。
想出來了乙個矩陣推導
2樓：士不可以不弘毅
分享乙個不那麼有趣，但是證明方法還是挺有趣的一道題目.
, 證明存在正交矩陣 使得 .Proof:考慮 維內積空間 , 因此 會對應 中的線性變換， 為其伴隨，即 =\left" eeimg="1"/>, 因此根據條件，可以得到：
=\left\\ &=\left=\left\\ &=||Bv||^2 \end" eeimg="1"/>
令 , 並且擴充為線性的，可見：
=\left=\left" eeimg="1"/>
因此 是乙個正交的對映，特別的，他是個單射，因為若 ，則 ,從而 ，則由線性對映基本定理：.
接下來的任務，是將 擴充為整個上的線性變換，考慮正交補空間 ，自然有： ，設它們各自的規範正交基為 和 .
令 ,定義為：
不難看出 也是個正交的對映，下面，由於 , 所以任意 可以被分解為： , 其中 , 所以令 ：
於是就有： , 即：
3樓：答疑貓
分享乙個初等一些的題目：
設 是乙個非零的線性對映，滿足
在 上定義雙線性函式 為
，設 是 的一組基，
是其對偶基。
證明： 是數量矩陣。
（對偶基的定義如下： ）
證明其實也不複雜，但是對線性空間的基定義運用要夠嫻熟。
（PS：搞cmc的朋友可能見過題目，這其實就是cmc數學組的比賽題目，不過有些年頭了）
4樓：蔡格非
2019.6.11線性代數第二學期學完了，加點題4、最小多項式和域無關；
（雖然看似簡單但證明並不容易寫好……）
5、矩陣的特徵多項式和最小多項式相同，當且僅當它的不變子空間個數有限，當且僅當和它可交換的所有矩陣都能表為的多項式；
（此題思索一節高代課，主要是當時不變子空間和 的結構不是特別熟悉）6、有限維正交空間上的線性變換 ，存在一組標準正交基使其在這組正交基下的矩陣的對角元全為零當且僅當 ；
（此題見於丘磚，但還是有點意思）
大一新生學線性代數日常燒腦，估計智商不夠
1、設矩陣滿足，證明
（當時一臉懵逼）
2、兩個半正定矩陣可同時合同對角化
（老師說不行，後來千辛萬苦偽證出來了……）3、，如果 ，證明 為偶數
（此題暗中思考20min）
5樓：索旖然
n維超立方體對應每i維的超平面有多少個？i=1 2 3...n
（如一條邊有2個點，正方「形」有4條「邊」，4個頂「點」。 立方體6個「面」，12條「邊」，8個頂「點」。那麼維度是一般情況下的n呢？）
6樓：
組合Hodge分解定理.
具體來講，設
為乙個有限維內積空間（內積記作），
是其上乙個線性變換，且滿足，
是的對偶線性變換，即,
令.結論是： .
猶記得當年在高代試卷上看到這個題目時的一臉懵逼.
7樓：
有次晚自習無聊,給自己出題.
隨手寫個矩陣研究:
研究完了想看看能不能推廣到更高階:
然後我乙個晚自習就全栽求特徵值上了.....
求證這個矩陣的兩個特徵值是:
8樓：
感謝上面許多好答案,也來補充乙個無聊想到的簡單的線性代數題:
域F上的3個 2 x 2 方陣
滿足 排除平凡情況(B是個純量陣,)則成立
9樓：
熟知一些線性代數的知識很容易看出題目是錯的。實際上 LSFR 的特徵多項式就對應著遞推式的矩陣（遞推式矩陣是它的伴侶陣），從特徵矩陣的 Smith 標準形以及線性空間按照該對映的根子空間分解就能看出：若特徵多項式是若干個互質的、同樣次數的 primitive polynomials 的乘積，則它的序列長度就是恆定的。
10樓：皇叔
比較簡單的題。
S=A1，A2，...，An+1是S的非空子集
求證：這些子集可以劃分成兩部分，使得它們的並集相等
11樓：趙佳棟
分享乙個UHiP 2016.12月的謎題:
n個人分配到m個組, 保證:
1. 每個人至少被分配到2組以上;
2. 每個組至少有2個以上的人;
3. 任意兩組之間,有且僅有乙個共同成員;
給定n, 求最大的m.
思路其實比較簡單, 理解題目之後, 可以很容易地構造出m=n的結果, 然後猜想"m<=n", 比較麻煩的是證明這個猜想.
這個猜想可以通過構造矩陣A(n,m) 和矩陣B(m,m), 先證明Bx=0無解, 得到B是full rank, 再根據A,B的關係得到rank(A) >= m.
12樓：張辰LMY
問題2:下面是Atiyah的那道著名線性代數題。
問題3:又想起一道高中競賽題，背後有著線性代數思想，注意證法二。推薦之
13樓：
uni bonn
Mathematisches Institut der Universitt Bonn
11周作業+考試題
順便提一句，這門課是Prof. Dr. Michael Rapoport 在教，至於他是誰，懂的人懂。
不知道的基本上可以告別線性代數了。
14樓：zero
（可能組合意味大於線代）題目來自@塵銳案
對乙個方陣M，我們可以改變它某一行或者某一列的符號（正 to 負， 負 to 正）。
證明對於給定的M，存在有限個操作後使得所有的行和和列和非負。
15樓：李澤龍
前幾天補之前乙個考試，老師給我出
題目：給定乙個n維的範德蒙行列式
其中x1，... ,xn取自[-1,1], 要求求這個行列式所表示函式在這個區間上的極值或者證明這個極值不存在。 老師給的是n=4的情形，若可能的話求出n維的表示式。
可惜當時為了趕緊刷過，所以只做了要求內的。
這倒題目非常有意思，題目本身聯絡了線性代數，高等數學和幾何的知識。
解N=4的過程：給定乙個範德蒙行列式，其值為：
題目要求的就是這個範德蒙行列式表示的四元函式在[-1,1]上面的極值，或者證明這個極值不存在。
分析上面等式右邊的連乘可以知道其式子為
我們看這個式子的幾何意義：
明顯這個連乘的幾何意義就是上面六條線段的長度的積。那麼自然而然考慮兩個問題：
1.極值的正負性
假設我們有由於任意變換兩個點，比如X2 和 X3，上面(2)式中的結果會變成負號，所以關於極值我們有結論：任意變換兩個點則連乘的結果會換號。由此可以推論出：
函式的極大值和極小值數值一樣，但是負號相反。
2.關於極值取點的問題：
由上圖幾何意義知道，函式表示的是上圖六條線段的連乘之積。 那麼要使這個結果最大，那麼至少在x1,x2,x3,x4中應該包含端點-1,1否則總能是不能達到最大值。 並且我們發現，如果取那麼會得到最終結果是0，所以兩個點不能取同乙個值。
由於可以不考慮取點順序，那麼我們不妨設，那麼原函式得
化解得接下來就是對求偏導數，令偏導數=0 ， 求得幾個解，排除掉無意義的解之後獲得最後的解就是：
然後代入這個解求得
然後對這個求導數，令導數等於0 ，然後解得
16樓：
一道有趣但本質是很基礎的線性代數的題：
我們在許多電腦遊戲中都會接觸到這樣的一種經典的謎題，若干個可改變狀態的物體（為敘述簡便我們以燈泡為例），以及每個燈泡對應的開關。當我們按下乙個開關時，不僅開關對應的燈泡會改變狀態，而且其他的某些燈泡也會隨之改變狀態。我們稱兩個燈泡是連鎖的，如果按下乙個燈泡對應的開關，除自身外另乙個燈泡也會改變狀態。
乙個燈泡可以和若干個燈泡形成連鎖，也可以不和任何燈泡連鎖。更精確地說，連鎖是乙個自反對稱非傳遞關係。那麼結論是，無論燈泡連鎖如何，我們都可以通過按下有限次開關，將全暗的燈泡變為全亮的。
如果你能抽象出其中的線性代數思想，那麼這題目幾乎是顯然的。這題是下述定理的絕妙應用：
M是GF(2)裡的任意對稱陣，那麼Mx=diag(M)有解。其中diag(M)是由M的對角元依次排列組成的向量。
17樓：「已登出」
想來有個不錯的問題.
所謂Schur-Horn theorem. 即:
給定兩組實數則存在乙個以為對角元, 為特徵值的Hermitian矩陣, 當且僅當
. 且在k=n時取等.矩陣分析的證明是基於隨機矩陣的 Birkhoff–von Neumann theorem.
而這個定理存在乙個辛幾何的證明, 如果承認Atiyah–Guillemin–Sternberg convexity theorem的話, 證明將是顯然的.
實際上, 考慮所有以為特徵值的Hermitian矩陣的集合.
是的餘伴隨軌道, 於是以Konstant-Kirillov form成為緊辛流形.
而且因為是乙個軌道, 自帶乙個作用, 這個作用還是Hamiltionian的.
可以將這個作用限制到(對角)極大環面上, 得到了乙個Hamiltionian環麵作用.
其moment map為
這個環麵作用的不動點集恰由所有以為對角的對角矩陣組成.
於是根據AGS凸性定理, .
於是一經整理便得到Schur-Horn定理.
實際上, 如果仔細考慮, 以上證明沒有用到任何關於本身的性質. 所以這個證明, 可以推廣到任意連通緊李群, 給出Kostant's convexity theorem.
線性代數有什麼用？學習線性代數的意義在哪？
陳曉藝 最核心的就是解方程，尤其是涉及大量運算的各類微分方程。提出的矩陣，秩，特徵值，特徵向量，標準型，二次型，基變換，座標變換等都是為了解方程更加方便。不要小看了解方程，快速解方程對於控制原理，有限元，科學計算，幾乎涉及了理工科的方方面面。在學習線性代數的時候有這個思想是很好的，核心目的就是解方程...
學《線性代數》有什麼好書
1.柯斯特利金的代數學引論三大卷 2.柯斯特利金另有一本 linear algebra and geometry 3.shafarevich 也有一本 linear algebra and geometry 5.gtm 135 6.黎景輝，高等線性代數 7. 臭魚爛蝦 這本書可以彌補同濟版讓人詬病的...
線性代數的學習有什麼方法和竅門？
殷維傑 Linear Algebra Matrix Methods in Data Analysis,Signal Processing,and Machine Learning Strang老爺子的網紅線代課程，你值得擁有！ mushroomcurry 1 線性空間 線性變換。2 幾何意義。3 多...