1樓：靈劍
有三角形兩邊和大於第三邊的證明，運用等邊對等角、大邊對大角兩個定理，過程不複雜，可以翻一下。折線的情況用這個定理推就行了，曲線用長度如果定義為內接折線的上極限那麼也很顯然
2樓：某壬
我來補充幾句，其實上，說尺規作圖，實際上古人作圖只有一根繩子，固定兩點，拉緊，畫線，這其實就包含了最短的意思，而在其後的非歐幾何中，直接以「極值」取代了線段的定義。
3樓：
我在網上看到的是別人用三角形兩邊之和大於第三邊證明的。兩邊之和大於第三邊在課本上直接使用兩點直線最短推導，實際上幾何原本裡使用的是大邊對大角證明的，沒有涉及到線段最短問題。
4樓：普通的穗乃果普通地搖
對於實內積空間，我們是先用內積定義線段長度，再用折線逼近曲線取上確界來定義曲線長度。這樣「兩點之間線段最短」可以簡單地用確界性質和三角不等式來證明。
至於平面幾何的公理…肯定是等價於有內積的二維仿射空間的吧…歐幾里德原始的表述現在來看不夠嚴謹，而希爾伯特那套真的有人看嗎…
5樓：David KZ
兩點之間直線最短不是乙個良定的命題，因為沒有給出在什麼範圍內最短，如果在折線段範圍內，我相信是很好證明的，而如果考慮連續曲線，那就要在古典歐式幾何裡引入測度論了。
不過幾何原本裡的那些，如果我沒記錯的話，似乎連橢圓都沒考慮，而且曲線的長度也是不考慮的(畢竟沒有π)，所以只能考慮折線段的問題了。
至於引入測度論到歐式幾何的話，幾何原本那幾條公理肯定就不夠了，而現代微積分公理化又是建立在公理集合論上的，真要去改造的話，最後就又變成了微分幾何了。
6樓：醫鸀蕭
唉，孩子，首先公理是什麼？我想問你個問題怎麼去判斷乙個事情是對的還是錯的。就數學體系而言，判斷乙個事情是對的還是錯的標準就是公理。
數學公理會形成一套數學體系，這套體系能判斷乙個東西是對待的錯的。
證明是什麼呢？證明就是通過公理，以及其衍生的定理來推到出乙個命題是正確的還是錯誤的。
7樓：謝靈
這個用邏輯來證明。
公理：兩點之間,線段最短.
證：線段定義：互異的兩個端點的直線段叫線段。
（附：上面不叫迴圈定義，因為互異的兩個端點當能標識出線時，就能標出很多條長短不同的線。
直的那一條取名線段。）
先確定了不重合的兩點A、B。
可證得：兩點之間必存在最短的線。
假如沒最短這線，必存在無限短的線。
邏輯：沒最短必有無限短。
（證明上邏輯。
證明：反證法 「 假如連線沒有最短的線」。
得a不是最短的線，就有比a短的線a1，既 a＞a1由於「沒有最短的線」，得a1不是最短的線，就有比a1短的線a2，既 a1＞a2
由於「沒有最短的線」，得a2不是最短的線，就有比a2短的線a3，既 a2＞a3
上面類推得：a＞a1＞a2＞a3
證得：沒有最短的線，必有無限下去。）
又確定了兩個點，所以兩個點不是動點。
得兩點不能靠近。
所以不能無限的變短，就必有最短的線。
這個最短的線取名為直的線，又有兩個端點A、B。
所以，線段定義存在，且合理。
又證明了AB為最短。
公理證畢！
8樓：asdlittle
幾何原本卷一命題20，當然他只證明了三角形的情況而沒有給出曲線長度的一般定義，你需要補全曲線弧長的定義並作出證明（如果這一步不使用現代的形式僅限於使用古希臘的比例數理論，會顯得比較繁瑣）
9樓：
兩點之間線段最短是可證明的。
先給出五大公設：
1、任意兩個點可以通過一條直線連線。
2、任意線段能無限延長成一條直線。
3、給定任意線段，可以以其乙個端點作為圓心，該線段作為半徑作乙個圓。
4、所有直角都全等。
5、若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角和，則這兩條直線在這一邊必定相交。
（歷史告訴我們，第五公設被去除後，代之以新的看法的時候，非歐幾何就出現了）
五大公理：
1.跟同乙個量相等的兩個量相等；即若 a=c 且 b=c，則 a = b（等量代換公理）。
2.等量加等量，其和相等；即若 a=b 且 c=d，則 a+c = b+d（等量加法公理）。
3.等量減等量，其差相等；即若 a=b 且 c=d，則 a-c = b-d（等量減法公理）。
4.完全疊合的兩個圖形是全等的（移形疊合公理）。
5.全量大於分量，即 a+b>a（全量大於分量公理）。
六大定義：
1.點是沒有部分的。
2.線段只有長度而沒有寬度。
3.線的極端是點。
這表示線段是由點組成的並且線段只有長度而沒有面積。
4.直線是其組成點，均勻地直放著的線。
5.面只有長度與寬度。
6.面的極端是線。
（以上內容取自網路）
如何只通過計算證明「兩點之間，線段最短」？
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