1樓：250-1
嚴格從表示式來說，變分法只能證明兩點間可微曲線最短的是直線，不可微另說。
其次，這涉及到2個概念的定義——
長度：這個比較迷，一般連續曲線長度用的都是無限個直線段逼近的極限長度，可微情況下就成了曲線引數方程的導數模長的積分。
根據定義2來看，如果兩點間存在另一種x曲線使得x曲線長度為最短，那麼用x曲線代替直線重新定義上面的長度就會得到另乙個長度的定義（顯然在這個定義下曲線長度要比用直線定義的短），這時候假設存在某種x分法可以計算兩點間最短距離的曲線方程，那麼x分法算出來的最短曲線就不可能是直線。
我個人是這麼認為的，其實這只是定義帶來的問題，並不是變分法在這個問題上多麼神奇。
同樣的情況還出現在高中的「用向量數量積證明餘弦定理」，本質上是我們對長度的概念沒有明確定義，而數量積借助余弦函式和（我們直觀上認為的）向量長度（或線段長度）實現了當夾角為0時的平面線段長度的重定義（或相對嚴格一些的定義），並非向量和內積這一方法本身多麼神奇。
2樓：AfterPhilosophy
在相對論意義下，粒子的action integral就是世界線長度，作變分就得到了粒子的運動方程，即geodesic。具體地，如果spacetime是平凡的，即取問題中的metric，場中粒子沿直線運動。
3樓：dhchen
在數學上對同乙個命題給出不同角度的證明是非常有價值的，比如代數基本定理就有上百種證明方法。 你「可以」從「三角不等式」得到兩點間所有曲線中線段最短，前提在於你定義「曲線長度」的方式。(在有些書上，長度直接定義為 .
) wiki上給出了如何基於「定義」和三角不等式證明這個命題的方法，但是最後很多教材還是選擇了變分法，根本的原因還是變分方法具有「推廣的價值」。變分法的意義在於給出了這一類問題嚴格的分析證明，包括等周問題：相同的周長什麼時候圍成的面積最大。
並且給出了一般測度下測地線的Euler-Lagrange方法。並且，我個人覺得變分法更加簡單（笑），大概是因為我是分析的big fan吧。
4樓：
證明了在平直空間下最短路徑是直線。或者說閔可夫斯基空間下是直線。
比如球面上就是大圓，球體radial方向就是半徑。
空間彎曲對應度規的改變，不同度軌可以依據測地線方程算出不同的測地線。測地線方程就是那個空間最短的線，或者叫作用量最小的線。
如何只通過計算證明「兩點之間，線段最短」？
爆漿湯圓 看樓上提到的方法基本都是變分法，還有幾個迴圈證明的典型錯誤，我來提供乙個不一樣的思路，設A，B兩個點，直線距離為a，以A，B連線的直線為x軸，A為原點建立空間直角座標系，設f x,y,z 為經過AB兩點的任意曲線，利用第一類曲線積分計算得到f x 在A到B區間範圍內的長度為s a 1 dy...
如何用歐氏幾何公理證明 兩點之間線段最短 ？如果不能，它是否為公理？
靈劍 有三角形兩邊和大於第三邊的證明，運用等邊對等角 大邊對大角兩個定理，過程不複雜，可以翻一下。折線的情況用這個定理推就行了，曲線用長度如果定義為內接折線的上極限那麼也很顯然 某壬 我來補充幾句，其實上，說尺規作圖，實際上古人作圖只有一根繩子，固定兩點，拉緊，畫線，這其實就包含了最短的意思，而在其...
空間曲面上兩點之間最短路徑怎麼求
土星的熊貓 首先考慮變分法，即對任一已知L xi，xi t 對映為一標量s時 s a b Ldt 可以使s取到極值的xi xi t 的函式形式。於是，先考慮於三維空間中無約束的情況，有 即三維空間中無約束下直線為長度極值 最短 其中x x y y z z t 4個自由度由3個函式關係表徵，3個約束方...