1樓：爆漿湯圓
看樓上提到的方法基本都是變分法，還有幾個迴圈證明的典型錯誤，我來提供乙個不一樣的思路，設A，B兩個點，直線距離為a，以A，B連線的直線為x軸，A為原點建立空間直角座標系，設f(x,y,z)為經過AB兩點的任意曲線，利用第一類曲線積分計算得到f(x)在A到B區間範圍內的長度為s=a[1+(dy/dx)+(dz/dx)]由於(dy/dx)+(dz/dx)]≥0，則s≥a，命題得證。
2樓：Daisy
這個問題其實問得和數學分析中0.99999…=1或者講無窮小等不等於0一樣愚蠢（實數系構造中使用戴德金分割由有理數去定義無理數），在物理中則和最小作用量為什麼最小一樣愚蠢。要想證明這個問題你不如先問問自己怎麼去定義歐式空間。
兩點之間線段最短從某個角度上可以說就是歐氏幾何系統內的一條關於線段的定義，當然歐式公理系統有很多表述所以前面也有回答是用三角不等式作為基礎去推這結論的，但其實大同小異，你所用的三角不等式本身在其他版本中也可以說蘊含了這一結論…他們本質上是同一種東西，一切取決於你怎麼去構建歐式公理系統。不過以現代數學的觀點來看我們不太願意把它當作一條定義，出於數學結構簡潔性和普遍性的考慮，我們更傾向於基於三角不等式優先定義度量空間（即優先定義「距離」的概念），而歐式空間是一種經典的度量空間，在這個意義下，兩點之間線段最短是可證的。
在我們物理裡GR理論中，則把歐式幾何中直線的定義擴大到測地線，而直線也就對應平直空間中的測地線
3樓：謝靈
這個定理的描述：兩個互異的定點之間，能連無限多條線，必須證明只有最短的一條。
我們給這條最短的叫『線段』，也叫直的線段。
證明：已知A（0，a） ；B（0，b）
互異的定義：AB不重合，A≠B。既 AB≠0 。
定點的定義：點A滿足A≌A
取兩個互異定點 A、B，且能連出線:ln。
由互異定義得：AB≠0 ，既 AB=│b-a│＞≠0
（1）所以我們可以連出無限條線，且可以每條線長大於之前哪條線： l1＜l2＜l3＜....
可以證明l1不能無限小：因為定點邏輯 ：互異定點 A、B === 定點
反證法：假如每條線ln能小於之前：0=lk＜....＜liii＜lii＜li
由上面假設得：0=AB ，既 a-b =0
（2）（1）（2）矛盾。
否定了假設。
證得：ln存在一條最短的，且唯一一條最短這 ln。
由存在性原理，我們可以給存在的最短元素ln取名「線段」。
「線段」別名：直的線段。
直線的定義：以線段為模，向兩端無限延長。
得：直線為沒端點封閉、直的線。
4樓：苦悶馬小偉
預設所求的曲線足夠光滑。用變分法，E-L等式可以推出最小作用量的曲線，我們所求的泛函就是(1+y'^2)^(1/2)的積分。
5樓：張鴻漸
A點為u向量的起點，B為終點。
i，j為單位向量，所以ai+bj=u
當a和b都不等於0時
根據三角形定理，兩邊之和大於第三邊。
所以u向量的模小於ai的模+bj的模。
當a或b有乙個等於0時，向量共線，模相等。
綜上所述，u向量總是從A到B的最短向量。
6樓：傾斜的天空
這個問題在我的tl裡好幾天了
為了這個問題，我翻了一下Hilbert幾何基礎，五組公理裡面沒有一條是說兩點之間線段最短
後來想到我不應該去查幾何基礎，因為線段長度根本沒定義啊…定義線段的長度和實數的建立是一回事…
但是實數公理體系裡也沒有一條是兩點之間線段最短…因為一般曲線長度怎麼定義的根本就不知道啊…
所以要回答這個問題，就要先擺出長度的定義…但顯然不是所有曲線都可求長…
一般要定義曲線的長度，就是用折線去逼近，如果用來逼近的折線長度存在極限的話，就定義這個曲線可求長，這個極限值是曲線長度
根據定義，這只要證明每個非平凡折線的長度都嚴格大於線段就好了，這只要通過三角不等式即可證明
而用實數公理定義了線段長度以後，三角不等式是可以從平面幾何公理推出的.
7樓：SINGULARPOINT
幾何公理不可能在體系內得到證明（形式邏輯），只能在體系外——不錯，是在物理現實中得到經驗的證明。
對第五公設來說，歐氏幾何對應的是平直空間的牛頓經典物理，黎曼幾何對應的是彎曲空間的愛因斯坦的相對論物理。
8樓：
上面很多說這不是公理嗎，實際上，中學裡很多公理都是可以證明，當作公理，只是不想證明它們而已，因明證明所需的工具超出中學數學範圍。而且數學家所理解的公理，其實和大部分人所想的不同，數學上的公理有點像定義，說地更嚴格些，是有模型的理論，這裡的模型和理論都是數學術語，不是生活用語，具體可以點鏈結。
回到你的問題，你似乎假定曲線是處處可導的，其實不須要這個假定。在數學中不是所有曲線都可以計算長度的，假設X是距離空間，d是X的距離，曲線
我們可以定義
9樓：大鈾子
這個無法證明，因為這個定義其實是兩點之間最短的線稱作線段。
你可以試試把你的積分帶到球面幾何上看看成不成立。（球面如何建立座標系？歐式幾何下的定積分幾何應用如何應用到非歐幾何？）
你的證明錯誤在於：
證明兩點之間的長度時，使用了勾股定理，而勾股定理在球面座標系下不成立。由於「兩點之間，線段最短」這一公設同時適用於歐氏幾何、球面幾何、黎曼幾何，所以你計算時必須考慮歐氏幾何與非歐幾何兩種情況。
10樓：
「兩點之間，線段最短。」不是什麼公理，也不是線段的定義，是乙個需要證明的結論。但是這個證明起來很簡單，只需要三角不等式，加曲線弧長定義。上面用積分、變分的反而是顛倒。
首先給定歐幾里得度規後，需要驗證三角不等式：三角形兩邊之和大於等於第三邊。這個很簡單，平方、化簡、再平方、化簡，就可以了，具體從略。
曲線弧長是如何定義的呢？要求曲線AB長度
先弄一條折線ACDB，其折線長為|AC|+|CD|+|DB|。然後對折線加細成AECDFB，用三角不等式容易看出加細後的弧長不會比原來更短，|AE|+|EC|>=|AC|。曲線AB的弧長定義為所有這樣折線的上極限，如果是無窮，那稱曲線AB是不可和的。
現在我們反過來操作三角不等式，|AC|+|CD|+|DB|>=|AD|+|DB|>=|AB|，線段最短的結論是明顯的。
11樓：sinxl
首先你得定義什麼是線段，這依賴於定義什麼是直線。那麼什麼是直線呢，直線就是測地線，也就是兩點之間距離最短或最長的線。所以，這根本就是定義啊
12樓：靈劍
這個式子最直接的想法自然是使用變分法，運用E-L方程得到也就是顯然有
也就有是常數，因而只有在直線的時候才取極值。進一步可以驗證這個極值的確是最小值。
還可以考慮函式 ，它的導數 在 0" eeimg="1"/>時是單調遞增且恆正的，同時是個奇函式，因此在整個作用域上單調遞增，因此y是個下凸函式，因此可以立即運用琴生不等式得到
兩邊同時乘以(b-a)即得。
非引數的形式不適用於更複雜的來回折返之類的曲線，不過原理差的不遠。
13樓：錘子
用變分法（Variational method）可以證明，具體流程如下：
exemplo: 兩點之間直線最短
即：找到在 上定義並通過給定端點的函式 ,使得以下函式能夠求得最小值。
函式經過
Funo objetivo:
Figure 1. Straight Line between Two points
如大一所學，根據弧長公式可以推導出AB兩點之間的線長：
求泛函極值的思想：
其實求泛函極值的思想主要包括兩步：①先假設 就是那個可以使泛函 取到極值的函式。②接著證明，其他所有偏離 的路徑 的泛函值都更大，通常證明過程需要求泛函的一階導 ,並令一階導等於0（極值條件） 。
首先第一步，構造用來與 進行比較函式：
在這裡要說明，因為我們需要對泛函求導，但是泛函 中包含 ,所以我們希望 在 內盡可能多階可導，至少能夠二階可導。同時，比較函式中的 ，稱為比較引數，是乙個微小量，即 （不過，在這裡我認為 不一定要是乙個微小量，只要能產生一系列單引數偏移函式就足夠了），同時如上所說，我們也要求 能夠至少保證二階可導。
且 應保證穿過兩個端點，即： .
這樣構造比較函式的好處
Dr.Stein
[1]已經講的很詳細：
①對於給定的 ,我們可以通過修改 來產生一系列的函式
②當的時候，能和重合
Figure 2. Comparion Function
可以從上圖中直觀的看到 就是 方向上，比較函式 與極值函式 的差值，變分的思想就是讓這部分差值帶來的影響最小化。
接下來我們將偏移函式代入到泛函中，得到：
在這裡，因為 已經被給定了，所以泛函 變為了關於 的引數函式。
現在進行泛函求極值的第二步，對泛函 求一階導：
求導的方法，與其他類極值問題不同，我們因為已經預先得知「兩點之間直線最短」，所以選擇在 處泰勒展開，從個人而言更喜歡泰勒級數展開，因為 Taylor expansion 更質樸，而且還能趁機複習以下泰勒展開公式......
展開的第一項 因為 ，所以就是 本身。
同時通過泰勒展開，我們可以確定一階變分項，和二階變分項，如果有必要，還可以確定泛函的n階變分項。
一階變分項：
二階變分項：
在這裡只需要令一階變分項 來求極值，就可以了，即：
因為 為一任意值，所以問題暫時轉化為：
（Attention!!! 當問題回歸於一階變分項，要將上式乘 ，即： ）
以下為證明步驟：
因為 ，所以 , , .
上式可以轉化為：
又因為：
所以對於 ，兩項，可以容易地寫出： ，
結合積分號外側的 不難得出：
所以，問題又可以寫為：
對方程的第二項進行分部積分：
推導結果的第一項 因為含有 項，已知比較函式 也通過 , 點，所以
所以最終，我們得到了關於路徑函式 的一些特徵：
公式中因為 是任意量。對於包含任意量的積分，為了保證最後結果等於0，可以推導出結論：
又因為 ,方程並不包含 項，所以 。
我們最後可以得到：
即： 不隨 發生變化。
求解 方程的數學物理意義是：路徑 在 上，斜率不變。
得證：同一平面內，兩點之間直線最短。
如何用歐氏幾何公理證明 兩點之間線段最短 ？如果不能，它是否為公理？
靈劍 有三角形兩邊和大於第三邊的證明，運用等邊對等角 大邊對大角兩個定理，過程不複雜，可以翻一下。折線的情況用這個定理推就行了，曲線用長度如果定義為內接折線的上極限那麼也很顯然 某壬 我來補充幾句，其實上，說尺規作圖，實際上古人作圖只有一根繩子，固定兩點，拉緊，畫線，這其實就包含了最短的意思，而在其...
如何證明拋物線上的兩點連線的斜率，與這兩點區間內的切線的切點的斜率相同時，三點圍成的三角形面積最大？
乙個超綱的回答 作正交變換使AB與x軸平行，然後由費馬原理知高最大時切線與x軸平行，即與AB平行。注 正交變換後得到的影象不一定是函式，出現這種情況只需在最大值點應用一次隱函式定理即可。這樣需要的超綱知識就太多了 Mathis Wang 命題 是拋物線 的一條弦，是拋物線弧 上的乙個點，過 點的切線...
變分法證明「兩點之間直線最短「的意義是什麼
250 1 嚴格從表示式來說，變分法只能證明兩點間可微曲線最短的是直線，不可微另說。其次，這涉及到2個概念的定義 長度 這個比較迷，一般連續曲線長度用的都是無限個直線段逼近的極限長度，可微情況下就成了曲線引數方程的導數模長的積分。根據定義2來看，如果兩點間存在另一種x曲線使得x曲線長度為最短，那麼用...