1樓：
乙個超綱的回答：作正交變換使AB與x軸平行，然後由費馬原理知高最大時切線與x軸平行，即與AB平行。
注：正交變換後得到的影象不一定是函式，出現這種情況只需在最大值點應用一次隱函式定理即可。（這樣需要的超綱知識就太多了）
2樓：Mathis Wang
命題： 是拋物線 的一條弦， 是拋物線弧 上的乙個點，過 點的切線平行於割線 時， 到 的距離最大，此時 的面積最大。
證明：以拋物線的頂點為原點，拋物線的對稱軸為 軸，開口方向為 軸正方向建立直角座標系。拋物線的方程為 0" eeimg="1"/>(拋物線的焦點到頂點距離為 ).
設 點座標為 ， 點座標為 ，不妨設 .
直線 的斜率為
.直線 的方程為
.點的座標為 ，點 到直線 的距離為
在 時取得最大值為
.的導函式為 ，在 ，導數值為 ，也就是 處的切線斜率等於割線 的斜率，此時 有最大值，以 為底， 為高的三角形面積最大。
順便提一下，由兩點間的距離公式
.以 為底的拋物線內接三角形的最大面積為
.點座標為 .
以 和 為底的拋物線內接三角形的頂點為 和 ，最大面積為
兩個三角形面積和為 .
歸納可證，不斷取內接三角形，第 次內接三角形的個數為 ，這 個三角形的面積和為 .
全部加起來得到級數：
.這就是以 為弦的拋物線弓形面積，是 的 .
直接用微積分也可以驗證拋物線弓形面積。阿基公尺德當年沒有解析幾何工具更沒有微積分，用窮竭法求出拋物線弓形面積公式。
如何證明反比例函式兩分支上兩點連線的最短距離是經過原點的？
ysys 設y a x 分別作出 a，a 兩點處切線 容易知道兩分支在兩條切線兩側 所以兩分支上兩點距離不小於兩直線公垂線段長度即證 cvgmt 雙曲線的兩個頂點之間距離最小。這是高中雙曲線定義就可以看出來。接著只要證明 xy 1 是雙曲線，換元 x u v,y u v 天狐吞月 設直線y kx b...
如何只通過計算證明「兩點之間，線段最短」？
爆漿湯圓 看樓上提到的方法基本都是變分法，還有幾個迴圈證明的典型錯誤，我來提供乙個不一樣的思路，設A，B兩個點，直線距離為a，以A，B連線的直線為x軸，A為原點建立空間直角座標系，設f x,y,z 為經過AB兩點的任意曲線，利用第一類曲線積分計算得到f x 在A到B區間範圍內的長度為s a 1 dy...
如何用歐氏幾何公理證明 兩點之間線段最短 ？如果不能，它是否為公理？
靈劍 有三角形兩邊和大於第三邊的證明，運用等邊對等角 大邊對大角兩個定理，過程不複雜，可以翻一下。折線的情況用這個定理推就行了，曲線用長度如果定義為內接折線的上極限那麼也很顯然 某壬 我來補充幾句，其實上，說尺規作圖，實際上古人作圖只有一根繩子，固定兩點，拉緊，畫線，這其實就包含了最短的意思，而在其...