對於兩點式的變式(見題目描述)有無例外

時間 2021-10-29 08:09:38

1樓:南中國海的一條魚

直線:位矢滿足 的點的集合。

兩點式的依據是:經過兩點,有且只有一條直線。

在平面幾何上,這個定理可以較為容易地得到證明。

由於平面的特點,一條直線既可以有點向式方程,也可以有點法式方程。

點向式方程: ( 不全為零)

注意:這裡我們認為, 與任何數都是相等的。上述方程 不全為零,如果其中乙個為零,則表明其所在分數的分子必為零。比如,若 ,則方程為 ,它表明 取值任意而 實際上這個方程就是 .

點法式方程:

兩點式的實質,是用其中一點確定 中的 ,用兩點構建向量確定 中的 。換句話說,一點確定位置,兩點確定方向,所以兩點式的分母是對應座標分量之差,而分子則是變數與一點座標分量之差。

課本中給出的兩點式 ,這裡不必考慮分母可能等於零得情況,因為我們通過允許分母為零,使得這個方程能夠點向式地表示所有的直線。

如果可以將兩點式變形成問題中所述,則可以表明這個變式並無例外。

為了簡單起見,這裡設 ,上述方程可變形為

對該方程進行變形 這一系列變形都是等價變形,也就是說,兩個式子其實是一回事。

我們再回過頭來看直線的定義:位矢滿足 的點的集合。

實際上,這是用點 確定了 ,並令 得到的點向式方程的變形, 位矢所表示的點,是鏈結點 的線段的中點。

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