去除藍色球冠後,球面上兩點之間的最短路徑是什麼?

時間 2021-07-14 19:39:06

1樓:那美由擬型

可以按照這種方式思考這個問題:

姑且假設最短曲線的存在性(這件事不那麼平凡),且這條曲線不是大圓弧。首先,AB間的最短曲線一定會和藍色球冠有交,否則可以考慮往大圓弧方向的乙個小擾動,曲線距離會變短。

假設這條線從A出發到達了球冠上的點s,然後繼續想後跑。因為這是最短曲線,所以在s點左側和右側曲線內部夾角不小於180°,否則你可以把曲線往內部擾動一點距離變短。

因此對曲線在球冠上的每一點s,其向左向右的夾角不小於180°。又由於球冠邊界的圓是光滑的,考慮其切線,夾角剛好是180°。故這條曲線與球冠要相切。

綜上所述,連線AB的最短直線應該是從A出發,作乙個與球冠上圓相切的大圓交於a,從B出發作一條切大圓交於b,然後在球冠上把ab連起來即為所求。

2樓:continuous

如果在平面上,可以用物理中最小量方法解釋

想象AB兩點間有一條繩子,搭在乙個半圓上,繩兩段掛相同的重物,當整個系統達到平衡狀態時,重力勢能最小,AB之間繩長最短。同時受力分析可以得到如圖所示的繩的狀態(走兩條切線和一段圓弧)。

如果用嚴謹的語言寫需要朗格朗日力學相關知識,這裡提供乙個思路。

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