零算不算零多項式？

1樓：楊樹森

多項式是在環上定義的一種事物。所謂環，就是帶有加法和乘法的代數系統，滿足我們平時的除了乘法交換律以外的各種運算律。例如都是環，全體階矩陣也是環，前面的都有乘法交換律，但最後乙個沒有。

設是乙個環，則上的多項式是指

請注意，多項式和由多項式確定的對映不完全是一回事，這是因為它們有不同的對於相等的解釋。我們認為兩個多項式相等是指它們的所有係數都相等，而對映的相等是指它們將相同的元素對應到相同的元素。當是數域時二者沒有區別，但是在一般情況下不然。

按照上的運算定義上的多項式的運算，就像我們熟悉的數域上的多項式的運算一樣，於是上的全體多項式也是乙個環。為了讓它是乙個環，就必須認為是多項式。

這裡還有另外乙個問題，就是多項式的次數。我們認為多項式的次數是最大的非零係數對應的次數。於是，對於多項式是零次的。

而作為多項式沒有最大的非零係數，我們規定它是次的。為什麼不認為是零次的？

對於上的兩個非零多項式，記它們的次數是則它們的積的次數最大是而零多項式乘次多項式是零多項式。那麼規定零多項式的次數是多少，才會讓任意兩個多項式的乘積的次數與任意兩個非零多項式的乘積的次數有類似的性質？習慣上認為負無窮任何自然數都是負無窮，所以規定零多項式的次數是負無窮。

2樓：xinggu

零必須是多項式。換句話說，（給定係數環的）多項式全體必須包含零多項式。

數學家在考慮乙個代數體系時，總是希望有乙個零元素，即與任意元y相加都得y的元素。

此外，多項式的加法封閉性和係數的代數性質也決定了零多項式必須存在。例如 1-x 和 x-1 都是多項式。為了滿足加法運算的封閉性，0=(1-x)+(x-1)也一定是乙個多項式。