1樓：何冬州楊巔楊豔華典生
f(x) mod (xx-1)^n
=f(x) - r(x)(xx-1)^n
=F(x)=1+p(x)*(x+1)^n=-1+q(x)*(x-1)^n
當n=1,2,3,...,n，求F(x)
此處n=4
易見F』(x)=(4p(x)+p』(x)*(x+1))*(x+1)^3=(4q(x)+q』(x)*(x-1))*(x-1)^3=k(xx-1)^3
以下參見 142857：這個多項式怎麼求？
即計算F(x)=∫(xx-1)^n dx，利用F(1)=1+16p(x)=-1，F(-1)=1=-1+16q(x)，解出F(x).
這種方法計算很快。
建議研究當n=1,2,3,...n時解的系列，計算其中的k，p(x)，q(x)，F(x)。
另外，如何將∫(xx-1)^n dx 表示成(xx-1)為變數的多次式+ (mod (xx-1)所得余式)
此外，也可以設法求解多項式不定方程1+p(x)*(x+1)^4=-1+q(x)*(x-1)^4，但，用輾轉相除法計算量太大，如何手工速解之，待研究，例如可以考慮 mod (x±1)^i，i=1,2,...,n.
2樓：Alex
由假設可知存在多項式 和 使得 。經整理後我們有 。由於多項式環是Euclidean domain, 且 和(x+1)^4互素，故此 和 確實存在（留意存在多項式 和 滿足 的充要條件是 ），並且可以對 和 進行輾轉相除法求得。
我們有 。
經整理後可得 ， 。一般地， 一定是形如 的多項式（ 為任意多項式）。所以 。
3樓：142857
因此, ， .
顯然有 和 ,因此
至少是 次多項式.當 是 次多項式時,設 :
於是：若 為 次以上多項式：
其中 為 上任一多項式.
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