勒讓德多項式的意義？

1樓：王碩

從物理的角度來說幾點，勒讓德多項式構成了球座標下的拉普拉斯方程的解，並且相互正交。因為拉普拉斯方程很容易遇到，所以，可以求解很多問題。

2樓：雪夜燈溪

我想從余弦公式的角度談談勒讓德多項式。

此處沒有用到大一高數以上的知識！

看到內文不要怕！

先引進乙個生成函式的概念。

在大一的高數中我們學到，函式可以通過冪函式展開成冪級數。例如：

那麼，考慮乙個數列，我們給他找來冪函式做掛衣架，把數列掛上去，就有。

如果，那麼就把叫做數列的生成函式。例如就是數列的生成函式。

考慮這麼乙個物理情景：

乙個有心二次力場（例如引力場，庫侖力場）中，有兩個粒子相互作用。乙個粒子在，乙個粒子在，出於一些對稱性的考慮，我們採用球座標，並固定其座標原點在有心力場的原點（例如以原子核所在的點）。試求其相互作用的能量，並將其用兩粒子的座標以及兩粒子與原點構成的夾角表示出來。

我們知道，二次有心力場的能量可寫成

（最後乙個等號假設了，該條件在某些情況下自然滿足，例如在自然單位制下求解兩電子間勢能時）

由高中所學的餘弦定理，我們有

提出，我們有

令，則原式化為

而Legendre多項式這個多項式數列是怎麼定義的呢？通過生成函式的定義恰恰是這樣的！

藉由該定義我們隨即就可以寫出：

考慮到該生成函式定義的收斂域原因，，因此我們提出時，提出的永遠是距有心力中心點較遠者對應的。

由此我們即可以看出勒讓德多項式的乙個物理意義了：它可以用來表述有心力場中的勢能。正是因此，在有心力場的問題中總是常常能看到勒讓德多項式的身影。

我們自然也可以由生成函式定義寫出其遞推形式，只需要對其兩側求微分

再乘上乙個使分母的次數相等，方便下一步相減。

再次使用Legendre多項式的生成函式定義帶進去

左右兩邊相等，因此相減，各項係數均為0即得出遞推公式。

3樓：YorkYoung

各種特殊函式多項式都可以用同乙個概念解釋，就是在某個測度空間中，由冪函式施密特正交化得到的空間的一組基。

考慮測度空間，其中，，從而我們可以找到乙個權函式使得，，這個時候我們考慮希爾伯特空間，如果性質足夠好，使得對任意都可積，那麼構成希爾伯特空間的一組非正交歸一的基，但我們可以將它們施密特正交化，就得到一系列正交多項式（可以有些係數差別，即正交不一定歸一）了。

取得到勒讓德多項式；

取得到厄密多項式；

取得到超幾何多項式。

4樓：Roc Yeats

Legendre多項式一方面可以聯絡起超幾何函式等特殊函式，另一方面作為一類經典的正交多項式展現著它的獨特魅力。此外，閉區間內分段光滑的L_2可積函式依舊可以擁有Fourier-Legendre級數展開。

5樓：寨森Lambda-CDM

數值分析中

在最小二乘擬合/函式最佳平方逼近中，法方程組階數較高時可能出現病態。如果採用正交多項式作為基函式，則法方程組化為對角方程組，就會消除病態。勒讓德多項式就是一種正交多項式。

高斯型求積公式需要求解勒讓德多項式的零點

6樓：天海上花

求座標分離變數得到的角向方程的解和勒讓德多項式有關為了得到方程的解的性質，我們就要研究勒讓德多項式Laplace方程在求座標下寫成

分離變數

得到三個方程：

第乙個方程展開就是尤拉方程，解為

第二個方程高數裡面就解過，解為

要是知道第三個方程的解我們就大功告成了，第三個方程令可以化為(連帶Legendre 方程)

時方程為（Legendre 方程）

解就是 ,原來那個方程的解就是 .

Legendre 多項式的意義就是為了研究 Laplace方程的解

7樓：有識芝士

多多旅行。詩和遠方充滿浪漫主義色彩，多出去走走見見外面的世界，人生會多出很多故事也能多出很多色彩與回憶。

多和有趣的人交朋友。其實有趣是可以被傳染的。有趣的人會讓你不知不覺地變得有趣。

勒讓德多項式的意義？

請問如何理解最小多項式和特徵多項式之間的關係？

線性代數中講多項式的意義何在？

二元甚至多元多項式能進行多項式的豎式除法嗎？

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