1樓：
就是要假裝不用複數證明代數基本定理羅。。。
我想可以這樣。 我們要證明任何對任何R上的GALOIS擴張K，有 [K:R]=2.
1.若[K,R]=2^rd,其中d是奇數且》1。 由Sylow定理和GALOIS基本定理，存在K/R的子擴張L/R，有[L:
R]=d。 因為是有限可分擴張，所以是單擴張, L=R(a)。 則a的R上不可約多項式是d次，為奇數。
不可能。
2.所以[K:R]是2的冪。 若[K;R]>=4，由GALOIS基本定理+ p群有p階的正規子群，存在K/R的子GALOIS擴張L/R，有[L:R]=4。
所以我們只需要證明[K;R]=4的情況。
記L是K/R 上的乙個中間擴張，有[L:R]=2。 那麼 K在L上是2次擴張。
所以存在u屬於L，有K=L(x)/(x^2-u)=L(t), t是x^2-u=0 的乙個根。 存在a,b屬於R有 u^2-au+b=0. 那麼 t^4-at^2+b=0.
則它是t的在R上的最小多項式。
我們要證明其可約即可推出矛盾。
首先若 a^2-4b>=0 則顯然可約。
反之 a^2-4b<0. 則b>0. 所以b^屬於R,且a+2b^>0。
那麼t^4-at^2+b=(t^2+b^)^2-(a+2b^)t^2 可約。得證。
2樓：王箏
我們可以證明，TFAE
2 實係數的n次多項式在複數域中必定有零點3（代數基本定理）復係數的n次多項式在複數域中必定有零點1->2 顯然
3->1 上面有人寫了
2->3 將復係數多項式拆成實部虛部，將實部多項式和虛部多項式分別視為單變數的多項式，考慮二者的Sylvester行列式，這是個實多項式所以必有零點，然後代入這個零點，解出另乙個變數的值.
所以如果可以不考慮複數證明此命題，那麼就可以全部用實的東西證明代數基本定理，沒看過這樣子的證明，感覺比較困難。
3樓：
對於實多項式，a是根，那麼a的共軛也是根。
把根設出來乘開，係數都是實數，就可以證明了。
-我發現我沒看題目描述。。。。
證明不能用複數啊。。。
如何證明下面這個多項式在有理數域上不可約？
Xigmatau 這是乙個很經典的多項式，許多數學家都研究過它的性質。其在有理域上不可約性的證明方法有很多，如Newton polygon Schur定理 Bertrand Chebyshev定理 1 Kummer定理 Galois群等等 方程在上無重根注意到 由輾轉相除法可得 故方程 無重根 該性...
實係數多項式之所有根為實數，如何證明其相應n階導數之所有根為實數？
KYUUSYOU SAMA 首先在沒有重根的點可以直接用羅爾定律，在此時原函式兩個零點之間必存在導函式為零的點。而有的點有重根的話，將原多項式寫作 f x x x1 k g x 其中x1為其k次重根，此時求導後能發現導數為f x x x1 k 1 h x 說明在x1點導函式重根至少有k 1個這樣就可...
有哪些在 Z x 上不可約的多項式，而對任意素數 p，在 Zp x 上都是可約的？
Eh.看到Math.SE上已經有人問過這個問題了.abstract algebra 文中提到乙個定理 Frobenius density theorem 大意是說Q上n次不可約多項式在所有F p上可約的充要條件是多項式的Galois group不含n 輪換。那麼deg f prime的情形自動被否決...