1樓：菜籽花花非黃
大的數域上互素推出小的數域上互素很好理解，大的數域上沒有根自然小的數域上也沒有根。
而小的數域上互素推出大的上互素。
1）可以用實數與複數的關係看一下，即從復到實「虛根成對存在」的觀念理解。
2）即證明，大數域上不互素，則小數域上也不互素。這個命題用反證法容易理解。證：若小的上互素，即uf+vg=1，則在大數域上該式也成立。也即大數域上不互素。
2樓：yuyu
從根的角度看，設域 包含在 中， 是域 上的多項式，進入 的代數閉包 。 上的多項式都是一次多項式的乘積，因此容易看到
因此包含在 中，可以將 看出 的子域，因此上面互素的刻畫，如果 和 在 中互素，那麼它們在 中沒有相同的一次因子，所以它們在 也一定沒有相同的一次因子，因此 和 在 中也互素。
3樓：
無關。數域上的多項式環必定存在帶餘除法（即多項式環為Euclid整環），那麼就成立Bezout定理
uf+vg=d，
即最大公因式可以被f和g線性表出。
數域擴張時，原來的多項式uvfgd當然也在擴張的多項式環裡，上面這個等式在擴環中依然成立。那麼比較兩邊的因式就可以知道,d仍為f和g的最大公因式。因此數域擴張時最大公因式不變。
反過來看，子域上作的環裡的最大公因式也被向上保持了，所以多項式的最大公因式與數域無關。
另外你也可以從根的角度來看，不過這時候要用更多的抽代知識了。
4樓：「已登出」
多項式互素關係不隨數域的擴大而改變，所以在實數域內互素的多項式擴大到複數域仍然互素。反之，複數域互素的多項式在實數域內也是互素的。
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