1樓：胖胖小
這是解析延拓的結果。
你就這麼想，數學家定義了一種新的加法，這個新加法相容普通加法。但是在無限級數相加之後，這就是另一種加法了。
僅此而已，不是現有的加法被顛覆了，而是新定義了加法運算。
2樓：
這麼講，人長到一公尺七是人，長到兩公尺也是人，我現在宣稱長到三公尺的人是大象，然後給你設計乙個從兩公尺的人慢慢變化到三公尺的大象的方案
反正人也不會長到三公尺，我這麼說也不會咋樣
3樓：馨陽
數學裡面有個叫解析延拓，不過我有乙個很巧妙但是不嚴謹的方法可以證明。
可能很多人會覺得這跟生活經驗完全不符合，你先買乙個蘋果，再買兩個蘋果，再買三個蘋果，這樣下去，居然還欠十二分之乙個蘋果。這不是搞笑嗎。
這個問題從純數學角度上來看，是比較扯的，但是從物理角度來看，還真的是有意義的（弦論就大量使用了這個結論）。
證明方法如下：
s=1+2+3+4+……+……
s1=1-1+1-1+1-……+………
s2=1-2+3-4+5-6………
s2+s2=2 s2
1-2+3-4+5-6………
1-2+3-4+5……
(錯位相加)
就會得到2 s2=1-1+1-1……=s1
所以：s2=1/2 s1
s-s2=4+8+12+16………=4(1+2+3+4+……)=4 s
所以：s=-1/3 s2
所以：s=-1/6 s1
所以要證明s等於負十二分之一，就要證明s1等於二分之一。
但是從數學角度，s1直覺明顯不是二分之一
它沒有乙個確定的值，有可能等於0，有可能等於1。
當然也可以這樣做
s1=1-1+1-1+1……=1-(1-1+1-1+1-1……)=1-s1
所以s1=1/2。
但是這個時候從數學角度看就不太行的通了。
所以我決定從物理角度來解釋，比方說，在量子力學中，你面對乙個處在疊加態的波函式，你去測量某乙個物理量最終得出的結果，一定是乙個期望平均值，也就是說應該把所有的波函式的值，加起來做乙個平均。
那麼如果s1=1-1+1……這個剛好對應一種特殊的波函式狀態的話，我們去做平均測量就會發現，在這個函式上，你隨便砍乙個位置，它有可能是奇數1，也有可能是偶數0，也就是說，獲得0和1的概率是百分之五十，所以期望值是二分之一。
也就是如果我們不去用數學去理解數學自然數之和，而是放在量子力學中，這個所有正數之和等於-1/12，就可以解釋的通了。
PS. 以上證明不嚴謹，但也可以說明一些問題，正規證明涉及到解析延拓。
4樓：星空跳躍
這些都是人類的幻覺。
假設S=1+2+3+......
那麼S=S+∞
所以0=∞
看！多麼荒唐......所以才規定∞不能參與運算，而S就是∞啊！
5樓：
哈哈大家都在說發散級數，其實學過數分就知道，不用說發散級數，甚至對於任何乙個條件收斂而不絕對收斂的級數，可以通過重排而收斂到任意你想要的值！別忘了它還收斂！比如1／3－1／4＋1／5－1／6＋1／7……收斂到ln2－1／2，但重排變為1／3－1／4－1／6＋1／5－1／8－1／10＋1／7－1／12－1／14……之後卻收斂到（ln2－1）／2
6樓：金圭子
內容是這樣：
第1步：
首先建立類似的乙個數列，An=-1 * n^(-1)，裡面只有1和-1，奇數項為1，偶數項為-1，所以這麼乙個數列的和S1就是：
∵S1=1-1+1-1+1-1+...=1-(1-1+1-1+1-...)=1-S1
∴S1=1/2
這個可以理解吧，如果有這麼乙個無限的公式，這個公式一半機率結果是1(最終結束在+1)，有一半機率是0(最終結束在-1)，所以結果是1/2，大多數人可以這麼理解，對吧。
第2步：同樣我們再構建乙個數列，為-1 * n * (-1)^n，也就是第一項為1，第二項為-2，第三項為3，第四項為-4：
S2=1-2+3-4+5-6+...
則同樣可以算出，如果把S2+S2，然後把S2的第一項放入S1的第二項，最終可以構建出：
2*S2=1-(2-1)+(3-2)-(4-3)+...=1-1+1-1+1-1+...=S1=1/2
∴S2=1/4
到這裡雖然這已經不是乙個收斂級數，但這個過程還是可以理解的吧？
第3步：
我們把最初的那個S=1+2+3+4+...，放大2倍，就會變成：2+4+6+8+...
然後分別對應S2的第2n項，也就是-2、-4、-6、-8項，正好一一對消，S+2S=1+3+5+7+...，再加上2倍的，就又變回了S本身：
S=1+2+3+4+...=1-2+3-4+5-6+...+4*(1+2+3+...)=S2+4*S
這樣的過程對不對？，那把S2=1/4代入，自然就得到了：
∴S=-1/12
嗯，好像每一步都對，怎麼結果就……
7樓：
這其實就是(很大)一部分搞物理的數學功底不行，估計他們用的壓根就不是普通的級數求和，只不過他們自己不知道而已。
作為乙個學數學，搞力學的，每次閱讀物理的東西，最痛苦的就是看著乙個個不嚴謹的證明，不知道該不該自己證一證。
8樓：湛便宜
令 A= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …
則A = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – … = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …)
A = 1 – A 得出 A=1/2
令 B = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – …
B = 1 – (2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 +…)= 1 – ((1+1) – (2+1) +(3+1) – (4+1) + (5+1) – (6+1) + …)
= 1 – (1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – …) – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …)
B = 1 – B – A 又 A=1/2 可得B=1/4
S = 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …
S – B = (1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …) – (1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …)
S – B = 2 * (2 + 4 + 6 + 8 + …) = 4 * (1 + 2 + 3 + 4 + …) = 4S
又 B= 1/4 得 S = – 1/12.
原文https://
sciencetonnante.wordpress.com
/2013/05/27/1234567-112/
9樓：忘憂北萱草
數學上「和」也分很多種：
有限數列的和。這個不用解釋，就是一些數加起來，滿足交換律和結合律。
柯西和。這種求和方式就是一般的收斂的無限數列求和。
切薩羅和。定義是 ，即數列的前n項的部分和的平均數的極限。可以證明，在數列收斂的時候，切薩羅和等於黎曼和。
廣義切薩羅和。 ，其中 表示廣義切薩羅和的階數，當 等於0時等價於柯西和，當 等於1時等價於一般的切薩羅和。
阿貝爾和。 。很神奇的一點是，如果乙個數列的切薩羅和存在，那麼這個數列的阿貝爾和等於這個數列的任意階的切薩羅和。
現在來看一看「所有自然數之和是負十二分之一」裡的「和」是哪個和。
但是要注意，拉馬努金求和雖然能算出結果為 ，但是這並不僅僅是對全體自然熟的求和，而是對於函式 的解析延拓在值域為自然數時的所有值的和。這種哦你定義方式肯定沒有矛盾，但是也失去了與有限數列求和對應的意義。
10樓：車到山前必有樹
懵逼，萬萬沒想到這個問題下面一堆洋洋灑灑幾百字然後不知道在說什麼的答案。
除了那幾個真的從復分析上面解釋的答案，其他回答的都是什麼啊。
這是個學術問題啊。
這個問題，稍微查一下隨便一版數分的級數章節就知道了。學術的解釋高讚答案已經給出了。不過正如他最後一句所言，沒學過的話看不懂他最關鍵的兩句（然而不代表就可以像其他答案那樣還什麼資訊的角度考慮.
還說什麼最關鍵的是為什麼取1/2.）
從通俗的角度解釋的話
不存在矛盾。因為要先問是不是。這個-1/12根本就是錯的。這個發散級數的和就是正無窮。不存在它的和是-1/12，也就沒有什麼矛盾不矛盾了。
至於為什麼是錯的，簡單理解是，8無窮級數的加減乘除規則注定了整個這個得出-1/12的演算法都是錯誤的。無窮級數並不都滿足小學所學的四則運算交換律組合律（是有要求的）。
所以就是，它的計算方法就是錯誤的，也就得到乙個錯誤的答案。
當然這個值也是有意義的，這個就看另外的高讚答案吧。我就是很不爽為什麼現在知乎連學術問題都可以亂j2答了。
11樓：
建議看M.克萊因的《古今數學思想》，裡面有對這個問題的詳細介紹，這在數學上是很正常的事，是很重要的乙個研究領域，在現代偏微分方程的研究領域有重要應用，從尤拉那個時代就開始研究這類問題。注意這裡的收斂不是在柯西意義下的那種收斂。
數學之所以能解放人的思想，這就是乙個很好的例子。
12樓：逍遙神劍
這不就是乙個不問收斂發散只管胡亂用級數的事兒嗎？尤拉他們幹了一籮筐……18世紀的事兒了，那幾位大佬寫那麼專業是真沒看懂……
13樓：Eidosper
我來給個解釋吧。從資訊的角度來說，自然數的和這個式子本身的資訊量是巨大的，而加法類似一種有損編碼，結果的資訊量是小於式子本身的。
我們都知道有些情況下有損編碼會得出一些神奇的結果，比如有一張圖是縮小到一定程度妹子的衣服就會變透明。縮小顯示本身就是有損的過程，其中出現各種奇怪的效應是正常的。
這個反直覺的答案也是如此。當我們對乙個資訊量無窮的式子進行有失真壓縮，那麼勢必會造成資訊損失。然而在某些特殊的視角下，就會出現神奇的結果，如同那個縮小去衣服的圖在縮小到一定程度一樣。
我們應該有個基本的認知，就是等號左右的資訊量是不同的。尤其是無窮到有窮的對映，反直覺很正常。
14樓：雲時之間
前幾天正好看到了這個內容，挺好玩的:
當時也去維基查了下，其實發現就是發散級數的一些東東，自己的知識水平還是有點淺了～
類似的問題還可以有很多:
只想大聲說，數學好神奇～
15樓：長歌
所謂「求和」不過是定義的一種運算，在常人認知中的求和運算中，這當然是不可能的，當然，如果你改變了求和的定義，這個結果就可能出現了。比如，在切薩羅求和的意義之下。
1 2 的所有正整數冪之和是 可計算的 嗎？
隔壁你王哥 這讓我想起小學的乙個題，當時覺得這可真是太厲害因為 1 3 0.3333.1 3 3 1 所以有 0.999.1 我來隨便瞎說一點 乙個乙個加肯定能加完，做法 用一秒算加1，用半秒算加1 2，用四分之一秒算加1 4，這樣你一秒就全算完啦 琉年 有點明白了，自答 應該是說，只要存在演算法就...
3個正整數之和等於10，有幾組這樣的正整數？
9老師cirnos 在小學奧數範圍，以上題目屬於計數體系中的拆數問題中的 和定無序拆三數 和定無序拆三數 是我自己總結的哈 以下是列舉法 再來乙個先有序再除序的 插板法 除序法 題主問到了推廣方法，我引用另乙個問題 其中我推薦 Ramune 的回答 把 100 拆分成 4 個正整數之和，有多少種拆分...
小於正整數n且與n互質的正整數之和是多少？
小雨可白 先說結論 首先，有乙個顯而易見的結論 即 這個結論的證明留在最後 那麼當 與 互質時 其中 便有 與 互質即 小於 且與 互質的數共有 個 其中 那麼令這些按從小到大的順序分別為 將其雙雙組合為 此時 根據最初提到的結論，容易發現對於任意的自然數 有 去重之後，這樣的 共有 個 故 對於 ...