1樓：德川Captain
對單位矩陣E施以初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。
三種初等變換對應三種不同的初等矩陣：
1. 初等倍法矩陣
以數 乘單位矩陣的第 i 行（列），得初等矩陣
2. 初等消法矩陣
以數 k 乘單位矩陣的第 j 行加到第 i 行上（或用數 k 乘單位矩陣的第 i 列加到第 j 列上），得初等矩陣
3. 初等換法矩陣
把單位矩陣的 i,j 兩行（列）對調，得初等矩陣
因為向量是一種特殊的矩陣（n行1列矩陣），我們不妨先考慮初等矩陣P左乘向量x的情況：
其中y是與x同維的向量,參照上面初等矩陣的概念，顯然有如下結論：
1. 如果P為倍法矩陣 , 顯然，x的第 i行元素乘以 k即為y；
2. 如果P為消法矩陣 ，x的第j行乘 k 加到第 i 行即為y；
3. 如果P為換法矩陣 , x交換 i,j 兩行即為y。
所以，向量左乘初等矩陣相當於對該向量進行相應的初等行變換。
擴充套件到矩陣的情況，矩陣X左乘初等矩陣P：
其中Y是與X同維的矩陣，因此，
即其中 是矩陣X的第i列， 是矩陣Y的第i列。
根據的前面結論，初等矩陣P左乘向量 ，相當於對 進行相應的初等行變換，所以初等矩陣P左乘矩陣X,相當於對X的每一列都進行相應的初等行變換，也就是對矩陣X進行相應的初等行變換。
同理，可以自行推導出初等矩陣P右乘X,相當於對X進行相應的初等列變換。
我們給出在任何一本《線性代數》中都可以找到的定理：
用初等矩陣左乘A，相當於對A進行相應的初等行變換；用初等矩陣右乘A，相當於對A進行相應的初等列變換。
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